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第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0且a1)f(x)ln xf(x)1若y，则y21.()2若f(x)sin x，则f(x)cos x()3f(x)，则f(x).()类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数(1)ysin ；(2)yx；(3)ylg x；(4)y；(5)y2cos21.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数解(1)y0.(2)yxlnxln 2.(3)y.(4)y，y().(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.反思与感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导如y可以写成yx4，y可以写成y等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误跟踪训练1(1)已知函数f(x)，则f(3)等于()A81 B243C243 D(2)已知f(x)ln x且f(x0)，则x0 .考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案(1)D(2)1解析(1)因为f(x)x3，所以f(x)3x4，所以f(3).(2)因为f(x)ln x(x0)，所以f(x)，所以f(x0)，所以x01.类型二利用导数公式研究切线问题例2已知曲线yf(x)，yg(x)，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解由得得两曲线的交点坐标为(1,1)两条曲线切线的斜率分别为f(1)，g(1)1.易得两切线方程分别为y1(x1)，y1(x1)，即yx与yx2.其与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以两切线与x轴所围成的三角形面积为1|2(1)|.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练2已知ykx是曲线yln x的一条切线，则k .考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案解析设切点坐标为(x0，y0)，由题意得k，又y0kx0，而且y0ln x0，由可得x0e，y01，则k.例3求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练3已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使ABP的面积最大考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率ky2x0，k2x02，x01，y0 1.故可得P(1,1)，切线方程为2xy10.故P(1,1)点即为所求弧上的点，使ABP的面积最大.1下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e；(log2x)；x；若y，则.A1 B2 C3 D4考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案C解析中(3x)3xln 3，均正确2函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A1条 B2条C3条 D不确定考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B解析设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)3x1，x0.故斜率等于1的切线有2条3已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x .考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点指数函数、对数函数的导数答案1解析f(x)2x，g(x)，f(x)g(x)1，即2x1，解得x1或.因为x0，所以x1.4过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案(1，e)e解析设切点坐标为(x0，y0)，切线的斜率为，则，又y0，由可得x01，切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.5求过曲线ysin x上一点P且与在该点处的切线垂直的直线方程考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解曲线ysin x在点P处切线的斜率kcos ，则与切线垂直的直线的斜率为，所求直线方程为y，即12x18y290.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1下列各式中正确的个数是()(x7)7x6；(x1)x2；x；()x；(cos x)sin x；(cos 2)sin 2.A3 B4 C5 D6考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数答案B解析(x1)x2；(cos 2)0.不正确，故选B.2已知函数f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4C5 D5考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.3质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A. B.C. D.考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数答案B解析st.当t4时，s .4正弦曲线ysin x上切线的斜率等于的点为()A.B.或C.(kZ)D.或(kZ)考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D解析设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，cos x0，x02k或2k，y0或.5直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案C解析yln x的导数y，令，得x2，切点坐标为(2，ln 2)代入直线yxb，得bln 21.6下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3Cf(x)ln x Df(x)sin x考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为1.因为A项中，(ex)ex0，B项中，(x3)3x20，C项中，x0，即(ln x)0，所以不会使切线斜率之积为1，故选D.7设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A. B.C. D1考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案B解析对yxn1(nN*)求导得y(n1)xn.令x1，得在点(1,1)处的切线的斜率kn1，在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(xn1)令y0，得xn，x1x2xn，故选B.二、填空题8若曲线y在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a .考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用答案64解析y，y，曲线在点(a，)处的切线斜率k，切线方程为y(xa)令x0，得y；令y0，得x3a，该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3a18，a64.9设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案(1,1)解析yex的导数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率为k1e01.设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线的斜率为k2 (m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)10若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案4解析y，切线方程为y(xa)，令x0，得y，令y0，得xa，由题意知a2，a4.11设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 017(x) .考点正弦、余弦函数的导数题点正弦、余弦函数的运算法则答案cos x解析由已知f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，f2 017(x)f1(x)cos x.12设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，.三、解答题13点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.四、探究与拓展14函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，若a116，则a1a3a5的值是 考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用答案21解析y2x，yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)又该切线与x轴的交点坐标为(ak1,0)，ak1ak，即数列ak是首项为a116，公比为q的等比数列，a34，a51，a1a3a521.15求证：双曲线xya2(a0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用证明设P(x0，y0)为双曲线xya2上任一点y.过点P的切线方程为yy0(xx0)令x0，得y；令y0，得x2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S|2x0|2a2.即双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.13
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