2022年人教A版高中数学 选修2-1 2-4-1抛物线及其标准方程 教案

2022年人教A版高中数学 选修2-1 2-4-1抛物线及其标准方程 教案（一）教学目标1.知识与技能：(1) 理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。(2) 熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。2.过程与方法：事例引入，动手操作理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。3.情感、态度与价值观：(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； (2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 （二）教学重点与难点重点：抛物线的定义和标准方程难点：抛物线标准方程的推导（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）回忆前面学习的内容，说一说椭圆与双曲线的相关知识？问题1：椭圆的定义是什么？双曲线的定义是什么？问题2：椭圆的标准方程是怎样的？双曲线的标准方程是怎样的？问题3：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象。问题4：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.问题5：把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 点题：今天我们学习“抛物线及其标准方程”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题6：实验操作书本P64页，几何画板上的画图，从实验中，点M随着H运动的过程中，与有什么关系？1、抛物线定义：把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 即=；焦点：；准线：直线 问题7：类似求椭圆或双曲线标准方程的方法来求抛物线的标准方程，你能利用上一节学过的坐标法求出抛物线的方程吗？如图所示，建立直角坐标系，设（）,那么焦点的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点，则有化简方程得 方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是 问题8：探究: 若抛物线的焦点分别为、，抛物线的标准方程是什么?2：抛物线的标准方程 (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例 1:（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点坐标是（0，2），求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用的代数式表示的，所以只要求出即可；（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出，问题易解。解析：（1），焦点坐标是（，0）准线方程是（2）焦点在轴负半轴上，2，所以所求抛物线的标准议程是练习：书本P67：1例2 已知抛物线的标准方程是（1），（2），求它的焦点坐标和准线方程分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数的值解：（1），焦点坐标是（3，0）准线方程（2）先化为标准方程，焦点坐标是（0，），准线方程是.练习：书本P67页练习2问题8：思考:你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。例3：点与点的距离比它到直线：的距离小1，求点的轨迹方程 解析：可知原条件点到和到距离相等，由抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线 ，所求方程是。对定义的一种等价变形，看到定点和定直线就要想到抛物线的定义练习：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴是轴，焦点为，（1）抛物线上的点到焦点的距离等于，求此抛物线的方程与的值；（2）抛物线上的一点的横坐标为，且，求此抛物线的方程。解析:（1）设抛物线的方程为，则 ， 所以抛物线的方程为 ，；（2）由已知条件知抛物线为，所以，不妨设，则，且 ，又，解之有抛物线的标准方程为。例4: (书本例2)一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）练习：书本P67页练习3例 5：求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（5，0）（2）经过点A（2，3）分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况解：（1）焦点在x轴负半轴上，5，所以所求抛物线的标准议程是（2）经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py点A（2，3）坐标代入，即94p，得2p点A（2，3）坐标代入x22py，即46p，得2p所求抛物线的标准方程是或x2y例6：已知抛物线，是抛物线上一点。（1）设是焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；（2）设点（），求|的最小值，并指出此时点的坐标；分析：（1）一般我们用原理：三角形两边之和不小于第三边，即，当且仅当点在线段上时求的最小值；但定点在抛物线含焦点部分，点在抛物线上，所以点不会再在线段上，所以需要利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点和到准线的距离相等作一个转化，从而实现上面的想法。（2）已知抛物线，是抛物线上一点，所以其坐标满足抛物线的方程：，而（），求|的最小值不妨直接用两点间距离直接表示|，从而转化为函数的最值问题。解析：（1）做垂直于准线，其中为垂足，则| |=| |， 所以|+|=|+|，可知，当垂直准线时三点，共线，|+|=|+|取小值为，此时（2）设，因为（）， 所以，又，所以 当时，在上是增函数， 所以当时最小值为，此时；时，在上是减函数， 在上是增函数， 所以当时最小值为，此时。小结：点在抛物线上首先点满足抛物线的定义（到焦点和到准线的距离相等）；其次是点的坐标满足抛物线的方程。活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1 说说抛物线的定义？ 2 说说抛物线的各种形式？活动五：作业布置、提高巩固1书面作业：书本P73 A组1、2