2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案 北师大版必修4

2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 8 函数yAsin(x)的图像与性质(二)学案 北师大版必修4学习目标1.会用“五点法”画函数yAsin(x)的图像.2.能根据yAsin(x)的部分图像，确定其解析式.3.了解yAsin(x)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的图像思考1用“五点法”作ysin x，x0，2时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？答案依次为0，2.思考2用“五点法”作yAsin(x)时，五个关键的横坐标取哪几个值？答案用“五点法”作函数yAsin(x)(xR)的简图，先令tx，再由t取0，2即可得到所取五个关键点的横坐标依次为，.梳理用“五点法”作yAsin(x) 的图像的步骤：第一步：列表：x02xy0A0A0第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.知识点二函数yAsin(x)，A0，0的性质名称性质定义域R值域A，A周期性T对称性对称中心(kZ)对称轴x(kZ)奇偶性当k(kZ)时是奇函数；当k(kZ)时是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间知识点三函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义1.函数y2sin的振幅是2.()提示振幅是2.2.函数ysin的初相是.()提示初相是.3.函数ysin的图像的对称轴方程是xk，kZ.()提示令xk，kZ，解得xk，kZ，即f(x)的图像的对称轴方程是xk，kZ.类型一用“五点法”画yAsin(x)的图像例1利用五点法作出函数y3sin在一个周期内的图像.考点用“五点法”作三角函数的简图题点用“五点法”作三角函数的简图解依次令0，2，列出下表：02xy03030描点，连线，如图所示.反思与感悟(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令x分别为0，2，解出x，从而确定这五点.(2)作给定区间上yAsin(x)的图像时，若xm，n，则应先求出x的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像.跟踪训练1已知f(x)1sin，画出f(x)在x上的图像.考点用“五点法”作三角函数的简图题点用“五点法”作三角函数的简图解(1)x，2x.列表如下：x2x0f(x)211112(2)描点，连线，如图所示.类型二由图像求函数yAsin(x)的解析式例2如图是函数yAsin(x)的图像，求A，的值，并确定其函数解析式.考点由图像求函数yAsin(x)的解析式题点由图像求函数yAsin(x)的解析式解方法一(逐一定参法)由图像知振幅A3，又T，2.由点可知，20，得，y3sin.方法二(待定系数法)由图像知A3，又图像过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得y3sin.方法三(图像变换法)由T，点，A3可知，图像是由y3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，y3sin，即y3sin.反思与感悟若设所求解析式为yAsin(x)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，.(1)由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图像与x轴的交点确定T，由T，确定.(3)确定函数yAsin(x)的初相的值的两种方法代入法：把图像上的一个最高点或最低点代入(此时A，已知)或代入图像与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点对应法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的x的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图像的“峰点”)为x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图像的“谷点”)为x；“第五点”为x2.跟踪训练2(2017贵州贵阳一中期末考试)已知函数f(x)sin(x)(0)的部分图像如图所示，则 .考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图像求解析式答案解析由图，知，T，又T，.类型三函数yAsin(x)性质的应用例3已知曲线yAsin(x)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0).(1)求函数的解析式；(2)求函数在x6，0上的值域.考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用解(1)由题意可知A，624，T16，即16，ysin.又图像过最高点(2，)，sin1，故2k，kZ，2k，kZ，由|，得，ysin.(2)6x0，x，sin1.即函数在x6，0上的值域为，1.跟踪训练3设函数f(x)sin(2x)(0)，函数yf(x)的图像的一条对称轴是直线x.(1)求的值；(2)求函数yf(x)的单调区间及最值.考点函数yAsin(x)的性质题点函数yAsin(x)性质的应用解(1)由2xk，kZ，得x，令，得k，kZ.0，.(2)由(1)知，f(x)sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数的递增区间是(kZ).同理可得函数的递减区间是(kZ)当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数取得最大值1；当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数取得最小值1.1.函数yAsin(x)(A0，0)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是()A.ysinB.ysinC.ysinD.ysin考点由图像求函数yAsin(x)的解析式题点由图像求函数yAsin(x)的解析式答案A解析由图像可得A，所以T，所以2，所以ysin(2x).将点的坐标代入ysin(2x)，得sin，则sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ).又00)的最小正周期为，则该函数的图像()A.关于点对称 B.关于直线x对称C.关于点对称 D.关于直线x对称考点函数yAsin(x)的性质题点函数yAsin(x)性质的应用答案A解析2，所以f(x)sin.将x代入f(x)sin，得f0，故选A.5.已知函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示.(1)求f(x)的解析式；(2)写出f(x)的递增区间.考点三角函数yAsin(x)的综合问题题点三角函数yAsin(x)的综合问题解(1)易知A，T42(2)16，f(x)sin，将点(2，0)代入得sin0，令0，f(x)sin.(2)由2kx2k，kZ，解得16k6x16k2，kZ，f(x)的递增区间为16k6，16k2，kZ.1.利用“五点”法作函数yAsin(x)的图像时，要先令“x”这一个整体依次取0，2，再求出x的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“x”的值.2.由函数yAsin(x)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，的值.(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T，所以往往通过求得周期T来确定，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以yAsin(x) (A0，0)为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.3.在研究yAsin(x)(A0，0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在x2k(kZ)时取得最大值，在x2k(kZ)时取得最小值.一、选择题1.若函数f(x)3sin(x)对任意x都有ff，则有f等于()A.3或0 B.3或0C.0 D.3或3考点函数yAsin(x)的性质题点函数yAsin(x)性质的应用答案D解析由ff知，x是函数的对称轴，解得f3或3，故选D.2.如图所示，函数的解析式为()A.ysin B.ysinC.ycos D.ycos考点由图像求函数yAsin(x)的解析式题点由图像求函数yAsin(x)的解析式答案D解析由图知T4，2.又当x时，y1，经验证，可得D项解析式符合题目要求.3.函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示，为了得到g(x)sin 3x的图像，则只要将f(x)的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用答案B解析由图像知，函数f(x)的周期T4，所以3.因为函数f(x)的图像过图中最小值点，所以A1且sin1，又因为|0，0)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2的奇函数g(x)，则和的值分别为()A.1， B.2， C.， D.，考点函数yAcos(x)的性质题点函数yAcos(x)性质的应用答案B解析依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)2cos，则函数g(x)2cos.因为函数g(x)的最小正周期为2，所以2，则g(x)2cos.又因为函数为奇函数，0，所以k(kZ)，则.5.函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ考点函数yAcos(x)的性质题点函数yAcos(x)性质的应用答案D解析由图像知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0，0)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A. B.C. D.考点函数yAcos(x)的性质题点函数yAcos(x)性质的应用答案D解析由函数f(x)是奇函数，且00，)的图像如图所示，则 .考点由图像求函数yAsin(x)的解析式题点由图像求函数yAsin(x)的解析式答案解析由图像知函数ysin(x)的周期为2，.当x时，y有最小值1，2k(kZ)，即2k(kZ).0，0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在0，上的图像.考点函数yAsin(x)的综合问题题点函数yAsin(x)的综合问题解(1)由题意知A，T4，2，ysin(2x).又sin1，2k，kZ，2k，kZ.又，ysin.(2)列出x，y的对应值表：x02x2y1001描点，连线，如图所示.12.已知函数f(x)2sin1(00)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的递减区间.考点函数yAsin(x)的性质题点函数yAsin(x)性质的应用解(1)f(x)为偶函数，k(kZ)，k(kZ).又0，f(x)2sin12cos x1.又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，T2，2，f(x)2cos 2x1，f2cos11.(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像.所以g(x)f2cos 212cos1.当2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)时，g(x)是减函数.函数g(x)的递减区间是(kZ).四、探究与拓展13.设函数f(x)Asin(x)的部分图像如图所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)等于()A.1 B. C. D.考点函数yAsin(x)的性质题点函数yAsin(x)性质的应用答案D解析由图像可得A1，解得2，f(x)sin(2x).点相当于ysin x中的(0，0)，令20，解得，满足|0，0，|)，在同一周期内，当x时，f(x)取得最大值3；当x时，f(x)取得最小值3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的递减区间；(3)若x时，函数h(x)2f(x)1m有两个零点，求实数m的取值范围.考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用解(1)由题意，易知A3，T2，2，由22k，kZ，得2k，kZ.又|，f(x)3sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函数f(x)的递减区间为，kZ.(3)由题意知，方程sin在区间上有两个实根.x，2x，sin，又方程有两个实根，m13，7).