2022-2023学年高中数学 第1部分 第1章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 充分条件和必要条件讲义（含解析）苏教版选修2-1

2022-2023学年高中数学 第1部分 第1章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 充分条件和必要条件讲义（含解析）苏教版选修2-1充分条件和必要条件如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮问题1：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立p：两三角形相似，q：对应角相等问题2：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件充要条件已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的倍数问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是 问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是问题3：p是q的什么条件？提示：充要条件1如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件简称p是q的充要条件，记作pq.2如果pq，且q / p，那么称p是q的充分不必要条件3如果p / q，且qp，那么称p是q的必要不充分条件4如果p / q，且q / p，那么称p是q的既不充分又不必要条件原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p、q的关系真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件真真p与q互为充要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件充分条件和必要条件的判断例1对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，下列结论正确的是_b24ac0是函数f(x)有零点的充要条件；b24ac0是函数f(x)有零点的充分条件；b24ac0是函数f(x)有零点的必要条件；b24ac0；是错误的，因为函数f(x)ax2bxc(a0)有零点时，方程ax2bxc0(a0)有实根，但未必有b24ac0，也有可能0；是正确的，因为b24ac1_x0；(2)ab_a2b2；(3)a2b22ab_ab；(4)A_A.解析：(1)由于命题“若x1，则x0”为真命题，则x1x0；(2)由于命题“若ab，则a2b2”为假命题，则ab/ a2b2；(3)由于命题“若a2b22ab，则ab”为真命题，且逆命题也为真命题，故a2b22abab；(4)由于命题“若A，则A”为真命题，且逆命题也为真命题，故AA.答案：(1)(2) / (3)(4)2(福建高考改编)已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件解析：因为A1，a，B1,2,3，若a3，则A1,3，所以AB；若AB，则a2或a3，所以AB / a3，所以“a3”是“AB”的充分不必要条件答案：充分不必要3指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：(1)p：x30，q：(x2)(x3)0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：ab，q：acbc；(4)p：ab，q：acbc.解：(1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0 / x30，故p是q的充分不必要条件(2)两个三角形相似 / 两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件(3)abacbc，且acbcab，故p是q的充要条件(4)ab / acbc，且acbc / ab，故p是q的既不充分又不必要条件.充分条件、必要条件的应用例2已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围思路点拨先利用不等式的解法确定命题p、q成立的条件，再根据p是q的充分不必要条件确定a的不等式组，求得a的范围精解详析令Mx|2x23x20x|(2x1)(x2)0x|x或x2，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且q / p，得MN.或a2或a2a2.即所求a的取值范围是，2一点通根据充分条件或必要条件求参数范围：(1)记集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要条件，则MN，若p是q的必要不充分条件，则NM，若p是q的充要条件，则MN；(3)根据集合的关系列不等式(组)；(4)求参数范围4已知p：关于x的不等式x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解：记A，Bx|x(x3)0x|0x3，若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到Bx|0x3，分两种情况讨论：(1)若A，即，求得m0，此时AB，符合题意；(2)若A，即0，要使AB，应有解得0m3.综上可得，实数m的取值范围是(，3)5已知条件p：x2x60，条件q：mx10，且q是p的充分不必要条件，求m的值解：由题意得p：Ax|x3或x2，当m0时，pB，当m0时，P：B.q是p的充分不必要条件，BA.易知m0适合题意当3或2，即m或m时，也适合题意m的值为或或0.求充要条件例3已知数列an的前n项和Snpnq(p0，p1)，求数列an是等比数列的充要条件思路点拨根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，根据数列an为等比数列，探求q所满足的条件，同时要注意充分性的证明精解详析a1S1pq.当n2时，anSnSn1pn1(p1)，p0，p1，p.若an为等比数列，则p，p，p0，p1pq，q1.an为等比数列的必要条件是q1.下面证明q1是an为等比数列的充分条件当q1时，Snpn1(p0，p1)，a1S1p1；当n2时，anSnSn1pnpn1pn1(p1)，an(p1)pn1(p0，p1)，p为常数，q1时，数列an为等比数列即数列an是等比数列的充要条件为q1.一点通求充要条件一般有两种方法：(1)等价转化法将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证(2)非等价转化法先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明6使函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数的充分不必要条件为_解析：由函数f(x)|xa|的图像知，函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数的充要条件为a1，所以使“函数f(x)|xa|在区间1，)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a1”成立的充分不必要条件，即填写形如ap，且pb”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“ab是a2b2的既不充分也不必要条件，故错正确答案：4(北京高考改编)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件解析：由sin 0可得k(kZ)，此为曲线ysin(2x)过坐标原点的充要条件，故“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分不必要条件答案：充分不必要5若p：x(x3)0是q：2x3m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_解析：p：0x3，q：x，若p是q的充分不必要条件，则3，即m3.答案：3，)6求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围解：p：6x462x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0(m0)1mx1m(m0)因为q是p的充分不必要条件即x|1mx1mx|2x10，如图，故有或解得m3.又m0，所以实数m的范围为m|0m3