2022-2023学年高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必修2

2022-2023学年高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必修2一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1有下列四个结论，其中正确结论的个数为_互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂直于同一条直线的两条直线平行；两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线解析：错误，异面直线也可能垂直错误，应有无数条错误，可能平行，相交或异面正确答案：12给出下列命题，其中正确的命题的序号是_直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；直线m平面，直线nm，则n；a、b是异面直线，则存在惟一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距离相等解析：错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；错误，直线n可能在平面内；正确，如图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，则a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是惟一确定的答案：3P为ABC所在平面外一点，ACa，连结PA、PB、PC，得PAB和PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为_解析：如图所示，由题意知，PAPBPCABBCa，取AC中点D，连结PD、BD，则PDAC，BDAC，则BDP为二面角P-AC-B的平面角，又ACa，PDBDa，在PBD中，PB2BD2PD2，PDB90.答案：垂直4如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是_SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；GD平面SEF.解析：在图甲中，SG1G1E，SG3G3F；在图乙中，SGGE，SGGF，SG平面EFG.答案：5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为_解析：设正方体的棱长为a，则S正方体6a2，正四面体D1AB1C的棱长为a，S正四面体4(a)22a2，所以 .答案：6如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_解析：设底面半径为r，则2r2rS，故r，所以Vr22r.答案：7.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_ cm.解析：设球的半径为r cm，则r28r33r26r，解得r4.答案：48在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，EF，则异面直线AD与BC所成角的大小为_解析：取AC中点M，连结EM，FM，F为DC中点，M为AC中点，FMAD，且FMAD1，同理EMBC，且EMBC1.EMF中作MNEF于N.RtMNE中，EM1，EN，sinEMN，EMN60，EMF120，AD与BC所成角为60.答案：609.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为38 cm，底面直径为24 cm，深度为35 cm的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量是_(精确到1 mm)解析：桶内水的深度为355(cm)，设水面半径为x cm，则有，解得x13.V水5(1221213132).设单位面积雨水深度为h，则V水192h，192h，h2.2 cm22 mm.答案：22 mm10在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为_解析：利用三棱锥A1AB1D1的体积变换：VA1AB1D1VAA1B1D1，则246h，h.答案：11在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，且DA平面ABC，则ABC的形状是_解析：如图，在ABD内，作AHBD于H，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AH平面BCD.又BC平面BCD.BCAH.又DA平面ABC，BC平面ABC，DABC.又AHDAA，BC平面ABD，BCAB，故ABC是以B为90角的直角三角形答案：直角三角形12如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为_解析：设上、下圆柱的半径分别是r、R，高分别是h，H.由水的体积不变得R2Hr2(20H)r2hR2(28h)，又r1，R3，故Hh29.则这个简单几何体的总高度为29 cm.答案：2913在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为_解析：如图，取AB中点为O，连结C1O和CO.三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，COAB.AC1BC1，C1OAB，则C1OC即为二面角CABC1的平面角又AB1，CO，C1C，OC1.下面用等体积法求距离VC1ABCVCABC1，SABCCC1SABC1d，即1d.d.答案：14已知RtABC的斜边在平面内，直角顶点C是外一点，AC、BC与所成角分别为30和45，则平面ABC与所成锐角为_解析：如图所示，过点C作垂直于的直线CO，交于点O.CAO30，CBO45.设COa，RtACO中，AC2a，在RtBCO中，BCa.过C点在平面ABC内作CDAB，连结OD，则CDO为平面ABC与所成的锐角，ABa，CDa，在RtCDO中，sinCDO，CDO60.答案：60 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)(2014淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.在ABC中，AB3 cm，BC4 cm，AC5 cm，ABC为直角三角形根据直角三角形内切圆的性质可得72R5，R1 cm，V圆柱R2h6 cm3.而三棱柱的体积为V三棱柱34636(cm3)，削去部分的体积为3666(6)(cm3)16(本小题满分14分)底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PEED21.问：在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC?证明你的结论解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平行线交PD于点G，过点G作GFCE交PC于点F，连接BF.BGOE，BG平面AEC，OE平面AEC，BG平面AEC. 同理GF平面AEC，又BGGFG，平面BFG平面AEC，BF平面BFG.BF平面AEC.下面求点F在PC上的具体位置：BGOE，O是BD的中点，E是GD的中点又PEED21，G是PE的中点而GFCE.F为PC的中点综上可知，存在点F，当点F是PC的中点时，BF平面AEC.17(本小题满分14分)如图，已知平面平面AB，PC，PD，垂足分别是C，D.(1)求证：AB平面PCD；(2)若PCPD1，CD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论解：(1)证明：因为PC，AB，所以PCAB.同理PDAB.又PCPDP，故AB平面PCD.(2)设AB与平面PCD的交点为H，连结CH，DH.因为 AB平面PCD，所以ABCH，ABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角又PCPD1，CD，所以CD2PC2PD22，即CPD90.在平面四边形PCHD中，PCHPDHCPD90，所以CHD90，故平面平面.18(本小题满分16分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1Sh824(m3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2Sh628(m3)(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m棱锥的母线长为l4(m)，则仓库的表面积S18432(m2)；如果按方案二，仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l10(m)，则仓库的表面积S261060(m2)(3)V2V1，S2S1，所以方案二比方案一经济19(本小题满分16分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且ADAA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点(1)求证：MF平面ABCD；(2)求证：平面AFC1平面ACC1A1.证明：(1)如图，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.F是BB1的中点，F为C1N的中点，B为CN的中点又M是线段AC1的中点，MFAN.又MF平面ABCD，AN平面ABCD，MF平面ABCD，(2)连结BD，由题意知A1A平面ABCD，又BD平面ABCD，A1ABD.四边形ABCD为菱形，ACBD.又ACA1AA，AC平面ACC1A1，A1A平面ACC1A1，BD平面ACC1A1.在四边形DANB中，DABN，且DABN，四边形DANB为平行四边形NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1，平面AFC1平面ACC1A1.20(本小题满分16分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，过E作EFPB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小解：(1)证明：连结AC，BD，交于点O，连结EO.底面ABCD是正方形，O是AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PAEO.又EO平面EDB，PA平面EDB，PA平面EDB.(2)证明：PD底面ABCD，且DC底面ABCD，PDDC.PDDC，PDC是等腰直角三角形又DE是斜边PC的中线，DEPC.PD底面ABCD，PDBC.底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC.又DE平面PDC，BCDE.DE平面PBC.又PB平面PBC，DEPB.又EFPB，且DEEFE，PB平面EFD.(3)由(2)知，PBDF，EFPB，EFD是二面角CPBD的平面角由(2)知DEEF，PDDB.设正方形ABCD的边长为a，则PDDCa，BDa，PBa，PCa，在RtPDB中，DFa.又DEPCa，在RtEFD中，sinEFD，EFD60.二面角CPBD的大小是60.