2022-2023学年高中数学 第1部分 第1章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题讲义（含解析）苏教版选修2-1

2022-2023学年高中数学 第1部分 第1章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题讲义（含解析）苏教版选修2-1命题的概念(1)这幅画真漂亮！(2)求证是无理数；(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x2 012；(6)若x22 0122，则x2 012.问题：在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假提示：(1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假1能够判断真假的语句叫做命题2命题四种命题及其关系观察下列四个命题：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似；(2)若两个三角形相似，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；(4)若两个三角形不相似，则这两个三角形不全等问题：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件对于命题(1)和(3)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定1四种命题的概念(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题2命题的四种形式原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.3四种命题之间的关系四种命题真假之间的关系观察下列命题，回答后面的问题：(1)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；(2)如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；(3)如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；(4)如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等问题1：若把命题(1)看作原命题，这四个命题之间有什么关系？提示：(1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系；(1)与(3)、(2)与(4)为互否关系；(1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系问题2：判断四个命题的真假提示：命题(1)(4)是真命题；命题(2)(3)是假命题1四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系1原命题是相对其他三种命题而言的事实上，可以把任意一个命题看成原命题，来研究它的其他形式的命题2当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，大前提仍作大前提3若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性，即它们同真同假所以，当一个命题的真假不易判断时，可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假命题的概念及其判断例1判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假：(1)是无限循环小数；(2)x23x20；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x4时，2x10；(6)把门关上思路点拨首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题精解详析(1)能判断真假，是命题，是假命题(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)(3)不能判断真假，不是命题(4)是命题，当等比数列的首项a11时，该数列是递减数列，因此是一个假命题(5)能判断真假，是命题，是真命题(6)因为没有作出判断，所以不是命题一点通1判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假2判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可1下列语句：(1)22 是有理数；(2)112；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？其中是命题的是_解析：(1)能判断真假，是命题，是假命题；(2)能判断真假，是命题，是假命题；(3)不能判断真假，不是命题；(4)是命题，是真命题；(5)不能判断真假，不是命题答案：(1)、(2)、(4)2判断下列命题的真假：(1)函数ysin4xcos4x的最小正周期是；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)不等式|3x2|4的解集是(，)(2，)；(4)平行于同一平面的两条直线平行解：(1)ysin4xcos4xsin2xcos2xcos 2x，显然其最小正周期为，故(1)为真命题(2)斜率相等的两条直线有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命题(3)由|3x2|4得，3x24或3x22或x4的解集是(，)(2，)故(3)为真命题(4)平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故(4)为假命题.四种命题及其真假判断例2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2ac；(2)函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是减函数时，loga20且a1)在(0，)上是减函数，则loga20，为真命题逆命题：若loga20且a1)在(0，)上是减函数，为真命题否命题：若函数ylogax(a0且a1)在(0，)上不是减函数，则loga20，为真命题逆否命题：若loga20，则函数ylogax(a0且a1)在(0，)上不是减函数，为真命题一点通1四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的概念直接转化即可2对于命题的真假判断，当直接判断有难度时，可以通过判断它的逆否命题的真假来判断3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x2或x4时，x26x80；(3)已知x、y为正整数，当yx1时，y3，x2.解：(1)原命题可改写成：若一个三角形是等腰三角形，则两个底角相等，真命题(2)原命题可改写成：若x2或x4，则x26x80，真命题(3)原命题可改写成：已知x、y为正整数，若yx1，则y3，x2.假命题4写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断其真假：(1)在ABC中，若ab，则AB；(2)正偶数不是质数；(3)若xA则x(AB)解：(1)原命题：在ABC中，若ab，则AB，真命题；逆命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题；否命题：在ABC中，若ab，则AB，真命题；逆否命题：在ABC中，若AB，则ab，真命题(2)原命题：若一个数是正偶数，则它一定不是质数，假命题，例如2；逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题，例如9；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题，例如9；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题，例如2.(3)原命题：若xA，则x(AB)，真命题；逆命题：若x(AB)，则xA，假命题；否命题：若xA，则x(AB)，假命题；逆否命题：若x(AB)，则xA，真命题.四种命题的综合应用例3证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.思路点拨根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可精解详析法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”证明如下：若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)0，设p：函数ycx在R上单调递减，q：不等式x|x2c|1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围解：函数ycx在R上单调递减0c1.记Pc|0c1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函数yx|x2c|在R上的最小值为2c.不等式x|x2c|1的解集为R2c1c.记Q.如果p正确，且q不正确，借助数轴得00.其中为命题的序号是_，为真命题的序号是_解析：是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；该语句是疑问句，不是命题；是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；该语句是感叹句，不是命题；是命题，因为x24x5(x2)210恒成立，所以是真命题答案：2设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是_答案：若|a|b|，则ab3命题“对于正数a，若a1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为_解析：逆命题：对于正数a，若lg a0，则a1.否命题：对于正数a，若a1，则lg a0.逆否命题：对于正数a，若lg a0，则a1.根据对数的性质可知都是真命题答案：44命题“若，则tan 1”的逆否命题是_解析：将条件与结论分别否定，再交换即可答案：若tan 1，则5给出下列命题：“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“若an既是等差数列，又是等比数列，则anan1(nN*)”的逆命题；“若m1，则不等式x22xm0的解集为R”的逆否命题其中所有真命题的序号是_解析：的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”是真命题；的逆命题为“数列an中，若anan1(nN*)，则数列an既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0；对于当m1时，44m0的解集为R是真命题因此逆否命题是真命题答案：6把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假(1)奇函数的图像关于原点对称；(2)当x22x30时，x3或x1；(3)a0时，函数yaxb的值随x值的增大而增大解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题(2)若x22x30，则x3或x1，是假命题(3)若a2，则m2n22”由于mn2，则m2n2(mn)2222，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题8判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数yax2bxc中，b24ac0，则该函数图像与x轴有交点解：(1)该命题为真逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真(2)该命题为假逆命题：若二次函数yax2bxc的图像与x轴有交点，则b24ac0，为假否命题：若二次函数yax2bxc中b24ac0，则函数图像与x轴无交点，为假逆否命题：若二次函数yax2bxc的图像与x轴无交点，则b24ac0，为假