2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 弧度制学案 新人教A版必修4

2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 弧度制学案 新人教A版必修4学习目标1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念(重点).3.掌握终边相同的角的表示(重、难点)知识点1任意角的概念1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置3角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)经过1小时，时针转过30.()(2)终边与始边重合的角是零角()(3)小于90的角是锐角()提示(1)，因为是顺时针旋转，所以时针转过30(2)，终边与始边重合的角是k360(kZ)(3)，锐角是指大于0且小于90的角知识点2象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限【预习评价】思考锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角知识点3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和【预习评价】与457角的终边相同的角的集合是()A|457k360，kZB|97k360，kZC|263k360，kZD|263k360，kZ解析由于4571360972360263，故与457角的终边相同的角的集合是|457k360，kZ|263k360，kZ答案C题型一与任意角有关的概念辨析【例1】(1)下列说法中，正确的是_(填序号)终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限的角；第二象限的角为钝角；小于90的角一定为锐角；角与的终边关于x轴对称解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400的角是第一象限的角，但不是锐角，故的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故的说法也是错误的；小于90的角不一定为锐角，比如负角，故的说法是错误的答案(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60到OB处，再按顺时针方向旋转820至OC处，则_解析AOC60(820)760，(760720)40答案40规律方法判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可【训练1】写出图(1)，(2)中的角，的度数解题干图(1)中，36030330；题干图(2)中，36060150150，36060()36060150570题型二终边相同的角的表示及应用【例2】写出终边落在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来解直线yx与x轴的夹角是45，在0360范围内，终边在直线yx上的角有两个：45，225.因此，终边在直线yx上的角的集合：S|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZS中适合360720的元素是：452180315；451180135；45018045；451180225；452180405；453180585规律方法解答本题关键是找到0360范围内，终边落在直线yx的角：45，225，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简【训练2】写出终边落在x轴上的角的集合S解S|k360，kZ|k360180，kZ|2k180，kZ|(2k1)180，kZ|n180，nZ.典例迁移题型三象限角和区域角的表示【例3】(1)2 017是第_象限角解析2 0176360143，143是第二象限角，所以2017为第二象限角答案二(2)已知，如图所示分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ，终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30到135之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为|30k360135k360，kZ【迁移1】若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解在0360范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150225，则满足条件的角为|k360150k360225，kZ【迁移2】若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解由题干图可知满足题意的角的集合为|k36060k360105，kZk360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ即所求的集合为|n18060n180105，nZ规律方法表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区域角集合课堂达标1下列说法正确的是()A三角形的内角一定是第一、二象限角B钝角不一定是第二象限角C终边相同的角之间相差180的整数倍D钟表的时针旋转而成的角是负角解析A错，如90既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90到180之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角答案D2378是第_象限角()A一 B二 C三 D四解析37836018，因为18是第四象限角，所以378是第四象限角答案D3把936化为k360(0360，kZ)的形式为_解析9363360144，故936化为k360(0360，kZ)的形式为144(3)360答案144(3)3604终边在直线yx上的角的集合S_解析由于直线yx是第二、四象限的角平分线，在0360间所对应的两个角分别是135和315，从而S|k360135，kZ|k360315，kZ|2k180135，kZ|(2k1)180135，kZ|n180135，nZ答案|n180135，nZ5已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解(1)终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是|k360210k360300，kZ课堂小结1象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角2“锐角”，“090的角”，“小于90的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是090；090的角是090；小于90的角为90；第一象限的角是|k36090k360，kZ3关于终边相同角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：(1)为任意角;(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360();(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍;(4)kZ这一条件不能少基础过关1下列说法中，正确的是()A第二象限的角都是钝角B第二象限角大于第一象限的角C若角与角不相等，则与的终边不可能重合D若角与角的终边在一条直线上，则k180(kZ)解析A错，495135360是第二象限的角，但不是钝角；B错，135是第二象限角，36045是第一象限的角，但；C错，360，720，则，但二者终边重合；D正确，与的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180的整数倍，故k180(kZ)答案D2在160；480；960；1 530这四个角中，属于第二象限角的是()A B C D解析480120360是第二象限的角；9603360120是第二象限的角；1 530436090不是第二象限的角，故选C答案C3若是第四象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析可以给赋一特殊值60，则180240，故180是第三象限角答案C4角，的终边关于y轴对称，若30，则_解析30与150的终边关于y轴对称，的终边与150角的终边相同150k360，kZ答案150k360，kZ512点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是_解析时钟上每个大刻度为30，12点过小时，分针转过90，时针转过7.5，故时针与分针的夹角为82.5答案82.56如图所示，写出终边落在直线yx上的角的集合(用0到360间的角表示)解终边落在yx(x0)上的角的集合是S1|60k360，kZ，终边落在yx(x0)上的角的集合是S|240k360，kZ，于是终边在yx上角的集合是S|60k360，kZ|240k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ7已知角2 010(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720解(1)由2 010除以360，得商为5，余数为210取k5，210，5360210又210是第三象限角，为第三象限角(2)与2 010终边相同的角为k3602 010(kZ)令360k3602 010720(kZ)，解得6k3(kZ)所以k6，5，4将k的值代入k3602 010中，得角的值为150，210，570能力提升8若A|k360，kZ，B|k180，kZ，C|k90，kZ，则下列关系中正确的是()AABC BABC CABC DABC解析由题意知集合A是终边在x轴的非负半轴上的角的集合，集合B是终边在x轴上的角的集合，集合C是终边在坐标轴上的角的集合，故ABC答案D9角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为()Ak360，kZBk360180，kZCk360180，kZDk360，kZ解析方法一(特值法)：令30，150，则180方法二(直接法)：因为角与角的终边关于y轴对称，所以180k360，kZ，即k360180，kZ答案B10集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB_解析当k1时，126；当k0时，36；当k1时，54；当k2时，144AB126，36，54，144答案126，36，54，14411若角的终边与60角的终边相同，则在0360内终边与角的终边相同的角为_解析由题意设60k360(kZ)，则20k120(kZ)，则当k0,1,2时，20，140，260答案20，140，26012写出如图所示阴影部分的角的范围解(1)因为与45角终边相同的角可写成45k360，kZ的形式，与18030150角终边相同的角可写成150k360，kZ的形式所以图(1)阴影部分的角的范围可表示为|150k36045k360，kZ(2)同理可表示图(2)中角的范围为|45k360300k360，kZ13(选做题)如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为 (0180)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求解0180，且k3601802k360270，kZ，则一定有k0，于是90135又14n360(nZ)，从而90135，n，n4或5当n4时，；当n5时，