2022-2023学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.5 定积分 1.5.3 微积分基本定理讲义（含解析）苏教版选修2-2

2022-2023学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.5 定积分 1.5.3 微积分基本定理讲义（含解析）苏教版选修2-2对应学生用书P28已知函数f(x)2x1，F(x)x2x.问题1：f(x) 和F(x)有何关系？提示：F(x)f(x)问题2：利用定积分的几何意义求(2x1)dx的值提示：(2x1)dx6.问题3：求F(2)F(0)的值提示：F(2)F(0)426.问题4：你得出什么结论？提示：f(x)dxF(2)F(0)，且F(x)f(x) 问题5：已知f(x)x3，F(x)x4，试探究f(x)dx与F(1)F(0)的关系提示：因f(x)dxx3dx.F(1)F(0)，有f(x)F(1)F(0)且F(x)f(x)微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，即F(x)dxF(b)F(a)1微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)2微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法求简单函数的定积分例1求下列定积分：(1)(x22x3)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)(cos xex)dx.思路点拨先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解精解详析(1)取F(x)x23x，则F(x)x22x3，从而(x22x3)dxF(x)dxF(2)F(1).(2)取F(x)cos xsin x，则F(x)sin xcos x，从而(sin xcos x)dxF(x)dxF()F(0)2.(3)取F(x)sin xex，则F(x)cos xex，从而(cos xex)dxF()dxF(0)F()1.一点通求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限1(江西高考改编)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx_.解析：f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.答案：2.(cos x1)dx_.解析：(sin xx)cos x1，(cos x1)dx(sin xx)(sin )(sin 00).答案：3求下列定积分：(1)sin2dx；(2)(2x2)(3x)dx.解：(1)sin2，而cos x，所以sin2dxdx.(2)原式(62x3x2x3)dx.求分段函数的定积分例2(1)设f(x)求f(x)dx；(2)求dx(a0)思路点拨按照函数f(x)的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和精解详析(1)f(x)dxx2dx(cos x1)dxx3(sin xx)sin 1.(2)由得dxxdx(x)dxx2x2a2.一点通(1)分段函数在区间a，b上的积分可分成几段积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细4.|x2|dx_.解析：|x2|x2|dx(x2)dx(x2)dx.答案：5设f(x)若f(f(1)1，则a_.解析：显然f(1)lg 10，故f(0)0 3t2dtt31，得a1.答案：1求图形的面积例3求由曲线yx22x3与直线yx3所围成的图形的面积思路点拨.精解详析画出草图，如图所示解方程组得A(0,3)，B(3,6)所以S(x3)dx(x22x3)dx，取F(x)x23x，则F(x)x3，取H(x)x3x23x，则H(x)x22x3，从而SF(3)F(0)H(3)H(0)0.一点通利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果6曲线y ，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为_解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A(0，2)，由得所以B(4,2)，因此所围成的图形的面积为dx.答案：7设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.解析：由已知得Sdxxaa2，所以a，所以a.答案：1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分2利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来对应课时跟踪训练(十一)一、填空题1.dx_.解析：dxln xln eln 11.答案：12.(2sin x3ex2)dx_.解析：(2sin x3ex2)dx(2cos x3ex2x)723e.答案：723e3(江西高考改编)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为_解析：S1x3，S2ln xln 2ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S1S3.答案：S2S1S34设f(x)则f(x)dx_.解析：f(x)dxx2dx(2x)dxx3(2xx2).答案：5(福建高考)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：因为函数yex与函数yln x互为反函数，其图象关于直线yx对称，又因为函数yex与直线ye的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e1exdx)2e2ex2e(2e2)2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P.答案：二、解答题6f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx，求f(x)的解析式解：设f(x)axb(a0)，则(axb)dxab5.x(axb)dx(ax2bx)dxab，所以由解得a4，b3，故f(x)4x3.7求由曲线yx2与直线xy2围成的面积解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组得或即两个交点为(1,1)，(2,4)直线为y2x，则所求面积S为：S(2x)x2dx.8设f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线xt(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解：(1)设f(x)ax2bxc，其图象过点(0,1)，c1，又在点(2，f(2)处的切线方程为2xy30，f(x)2axb，a1，b2，故f(x)x22x1.(2)依题意，f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S(x22x1)dx.(3)依题意，有S(x22x1)dx，即t3t2t，2t36t26t10，2(t1)31，t1.