2022-2023学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 曲线与方程 2.6.1 曲线与方程讲义（含解析）苏教版选修2-1

2022-2023学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 曲线与方程 2.6.1 曲线与方程讲义（含解析）苏教版选修2-1在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中问题1：直线yx上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线yx上，对吗？提示：不对 问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：yx.曲线的方程和方程的曲线如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)0的曲线正确理解曲线与方程的概念(1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形曲线与方程的概念例1如果曲线C上的点满足方程F(x，y)0，有以下说法：曲线C的方程是F(x，y)0；方程F(x，y)0的曲线是C；坐标满足方程F(x，y)0的点在曲线C上；坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线C上其中正确的是_(填序号)思路点拨根据曲线与方程的概念进行判断精解详析依据曲线的方程及方程的曲线的定义，曲线上的点应具备纯粹性和完备性由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性答案一点通判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程1判断下列结论的正误，并说明理由(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x3；(2)到y轴距离为2的点的直线方程为x2.解：(1)正确理由如下：满足曲线方程的定义结论正确(2)错误理由如下：到y轴距离为2的点的直线方程还有一个，结论错误2. 下列方程表示如图所示的直线c，对吗？为什么？(1)0；(2)x2y20；(3)|x|y0.解：第(1)题中，曲线C上的点不全都是方程0的解，如点(1，1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程x2y20的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：点与曲线的位置关系例2方程(x4y12)(3)log2(x2y)0的曲线经过点A(0，3)、B(0,4)、C、D(8,0)中的_个思路点拨方程表示两条直线x4y120和x2y80，但应注意对数的真数大于0，即x2y0.精解详析由对数的真数大于0，得x2y0，A(0，3)、C(，)不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求答案2一点通点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)f(x，y)0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可3已知直线l：xy30，曲线C：(x1)2(y3)24，若P(1，1)，则点P与l、C的关系是_解析：由1130，P不在l上，即Pl；又(11)2(13)24，点P在曲线C上，即PC.答案：Pl，PC4证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2y225，并判断点M1(3，4)、M2(2，2)是否在这个圆上解：(1)设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以5，也就是xy25，即(x0，y0)是方程x2y225的解(2)设(x0，y0)是方程x2y225的解，那么xy25，两边开方取算术平方根，得5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点由(1)、(2)可知，x2y225是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程把点M1(3，4)的坐标代入方程x2y225，左右两边相等，(3，4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(2，2)的坐标代入方程x2y225，左右两边不等，(2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上坐标法在求曲线的方程中的应用例3 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55 m试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)思路点拨按照对称建系，把中心放在坐标原点上，焦点放在坐标轴上，然后用待定系数法求解精解详析 如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使小圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直径CC，BB都平行于x轴，且CC132，BB252.设双曲线的方程为1(a0，b0)，易知a12，令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y55)因为点B，C在双曲线上，所以由方程，得y(负值舍去)，代入方程，得1，化简得19b2275b18 1500.用计算器解方程，得b25.所以，所求双曲线的方程为1. 一点通对于此类已知曲线类型求曲线方程的实际应用问题，求解的关键是建立适当的平面直角坐标系，利用待定系数法求解采用此法要善于联系平面图形的性质，建立恰当的直角坐标系5.一种卫星接收天线的轴截面如图，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8 m，深度为0.5 m试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程解： 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合设抛物线的标准方程是y22px(p0)由已知条件可得，点A的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.422p0.5，即p5.76.所以，所求抛物线的标准方程是y211.52x.1理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可2点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件是f(x0，y0)0.对应课时跟踪训练(十五) 1曲线C的方程为yx(1x5)，则下列四点中在曲线C上的序号是_(0,0)；(1,5)；(4,4)解析：yx(1x5)，(4,4)在曲线C上答案：2若P(2，3)在曲线x2ay21上，则a的值为_解析：P(2，3)在曲线x2ay21上，49a1，解得a.答案：3以下各组方程表示的曲线相同的是_(填序号)x2y2与y|x|y与y10lg xxy1与y1与1解析：、中方程表示的曲线不相同答案：4方程(xy1)0所表示的曲线是_解析：由题意，得或x1，故方程表示的是一条射线与一条直线答案：一条射线与一条直线5若点M(m，m)在曲线xy20上，则m的值为_解析：点M在曲线xy20上，mm20，解得m0或m1.答案：0或16下列命题是否正确？若不正确，说明原因(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx.解：(1)错误，因为以方程|x|2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|2所表示的图形的一部分(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线yx和yx，故命题错误7已知方程x2(y1)210.(1)判断P(1，2)，Q(，3)两点是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(，m)在此方程表示的曲线上，求m的值解：(1)因为12(21)210，而()2(31)210.所以点P(1，2)在方程表示的曲线上，点Q(，3)不在方程表示的曲线上(2)因为点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，所以2(m1)210，解得m2或m.8. 如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，AM，AN3，且BN6，建立适当的坐标系，求曲线C的方程解：如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，点O为坐标原点依题意可设曲线C的方程为y22px(p0)，则pMN.由题意知x1xx2，y0，其中x1、x2分别为A、B的横坐标M、N，AM，AN3，解得或AMN为锐角三角形，x1，故舍去由点B在曲线C上，得x2BN4.综上得，曲线C的方程为y28x(1x4，y0)