2022年高中数学 3.2一元二次不等式（第1课时）教案 苏教版必修5

2022年高中数学 3.2 一元二次不等式（第1课时）教案 苏教版必修5三维目标1.知识与技能(1)通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；(2)掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；(3)会解含参数的一元二次不等式和可化为一元二次不等式的不等式；(4)培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力2.过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法3情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育；(2)创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用. 重点、难点重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，学会解一元二次不等式，突出体现数形结合的思想难点：含参数的一元二次不等式解法对于本节内容而言，学生学习不会感到太大的困难，但要理解掌握本节内容所涉及的数学知识和方法，则要经历观察、思考、归纳、比较、探究的过程含参数的一元二次不等式的解法是学生学习本节课的难点，为突破此难点学习时应采取由易到难，由浅入深的方法，先从简单的讨论开始，再进行复杂的讨论(教师用书独具)教学建议 一元二次不等式解集的求法对学生而言并不会感到困难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，则需要经历观察、思考、探究的过程，教学中要遵循人们认识事物的一般规律从特殊到一般，从具体的二次函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观性，借助方程的根是二次函数的两个零点，引导学生观察二次函数图象上任意一点P(x，y)在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，归纳出一般的一元二次不等式解集的求法本节课需要给学生的思维活动留足够的时间和空间，帮助学生了解知识形成的过程，加深对知识的理解，领悟隐藏在知识发生过程中的数学思想方法教学流程(对应学生用书第46页)课标解读1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系(难点)3.掌握一元二次不等式的解法重点)一元二次不等式【问题导思】观察下列不等式：(1)x20；(2)x23x0；(3)x23x20.上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？【提示】各有一个未知数，未知数的最高次数为2.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系 【问题导思】1二次函数yx22x的图象与二次方程x22x0的根有何内在联系？【提示】零点的横坐标是方程的根2当x满足什么条件时，函数yx22x的图象在x轴上方？【提示】x2或x0.3能否根据问题2得出不等式x22x0的解集？【提示】能，解集为x|x2或x04不等式x22x0的解集呢？【提示】x|0x2b24ac000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2且x1x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1x|xRax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2(对应学生用书第47页)一元二次不等式的基本解法解下列不等式：(1)2x23x20；(2)x23x50；(3)6x2x20；(4)4x214x；(5)2x24x70；(6)x26x90.【思路探究】化一边为0二次项系数化为正求对应方程的根二次函数图象与解集【自主解答】(1)(3)242(2)250，方程2x23x20的两根是，2.原不等式的解集为.(2)(3)2459200，不等式x23x50的解集为R.(3)原不等式可化为6x2x20，1246(2)0，方程6x2x20的两根是，.原不等式的解集为.(4)原不等式可化为4x24x10，即(2x1)20.原不等式的解集是.(5)(4)24270，不等式2x24x70的解集为.(6)原不等式可化为(x3)20.原不等式的解集是x|xR，且x31本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会2一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“”与“”，“”与“”符号的区分解下列不等式(1)x2145x；(2)x27x6；(3)x2x.【解】(1)先将不等式化为x25x140，方程x25x140(x7)(x2)0，其根为x12，x27.结合二次函数yx25x14的图象易得不等式的解集为x|x2或x7(2)先将不等式化为x27x60，即(x1)(x6)0，1x6，故不等式的解集为x|1x6(3)原不等式化为x2x0，方程x2x0的判别式0，方程有两相等实根，为x1x2，原不等式的解集为.含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式：ax2(a1)x10(aR)【思路探究】当a0时，不等式的解集a0时，不等式的解集a0时不等式的解集【自主解答】若a0，原不等式可化为x10，即x1.若a0，原不等式可化为(x)(x1)0，即x或x1.若a0，原不等式可化为(x)(x1)0.(*)其解的情况应由与1的大小关系决定，故(1)当a1时，由(*)式可得x；(2)当a1时，由(*)式可得x1；(3)当0a1时，由(*)式可得1x.综上所述：当a0时，解集为x|x或x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x；当a1时，解集为；当a1时，解集为x|x11含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论若把题目中的条件“aR”改为“a1”解集又怎样？【解】(1)若a0，则原不等式可化为x11；(2)若a0，即x1；(3)若0a1，则原不等式的解为1x.综上所述：当a0时，解集为x|x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x.可化为一元二次不等式的不等式解下列不等式：(1)2x23x1；(2)2.【思路探究】(1)化为同底利用y2x单调递增转化为一元二次不等式(2)移项通分等价转化为一元二次不等式【自主解答】(1)原不等式可转化为2x23x121，x23x11，即x23x20，不等式的解集为x|1x2(2)移项，得20，左边通分并化简，得0，即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x0；x24x40；44xx20.【解析】计算，结合二次函数图象知的解集是.【答案】5不等式1的解集是_【解析】原不等式可化为10，0，即0，0，等价于2x.【答案】(2，)6不等式2x22x3()3(x1)的解集为_【解析】2x22x3()3(x1)，2x22x323(1x)，x22x333x，即x2x60，解得3x2.【答案】(3,2)7不等式log2(x21)2的解集为_【解析】log2(x21)2，log2(x21)log24，1x或x1。【答案】(，1)(1，)8一元二次不等式x27x120，2x2x50，x222x的解集分别为M，N，P，则P，M，N之间的关系是_【解析】x27x120，(x3)(x4)0，3x4，Mx|3x4，同理可得N，PR，故NMP.【答案】NMP二、解答题9求不等式2x23|x|350的解集【解】法一2x23|x|350，2|x|23|x|350，(|x|5)(2|x|7)0，|x|5或|x|(舍去)，x5或x5.原不等式的解集为(，5)(5，)法二2x23|x|350，当x0时，2x23x350，即(x5)(2x7)0，x(舍去)或x5；当x0时，2x23x350，即(x5)(2x7)0，x5或x(舍去)原不等式解集为(，5)(5，)10若不等式(m22m3)x2(m3)x10的解集为R.求m的取值范围【解】当m22m30时，m3或m1.若m3，原不等式化为10，恒成立，原不等式的解集为R；若m1，原不等式化为4x10，得x，原不等式解集为x|x，不合题意，舍去当m22m30时，依题意有m3.综上所述，当m3时，不等式(m22m3)x2(m3)x10的解集为R.11(xx德州高二检测)解关于x的不等式x2(a1)xa0.【解】原不等式可化为(x1)(xa)0，对应方程(x1)(xa)0两根为x11，x2a.(1)当a1时，原不等式解集为x|1xa；(2)当a1时，原不等式解集为；(3)当a1时原不等式解集为x|ax1综上：当a1时解集为(1，a)；当a1时无解；当a1时解集为(a,1).(教师用书独具)设a1，解关于x的不等式0.【思路探究】解含参数的不等式时，一般要利用转化思想和分类讨论思想，在转化时一定要注意等价性原则【解】原不等式可化为0，当a0时，化为0.2x0.当0a1时，化为0，此时2a，2xa或x.当a0时，化为0.当a时，有x2或xa.当a时，有x且x2.当a0时，有x或2xa.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|2x0；当0a1时，不等式的解集为x|2xa或x；当a时，不等式的解集为x|x2或xa；当a时，不等式的解集为x|x且x2；当a0时，不等式的解集为x|x或2xa解分式不等式的主要方法是移项、通分、因式分解、右边化为0，利用实数运算的符号法则等价转化为整式不等式(组)求解，本题是含有参数的分式不等式，解含参数的不等式要注意以下基本策略：1分清主变量与参变量，正确实施等价转化；2在转化过程中，考虑参数在取值范围内对运算结果是否有影响，从哪一步开始对结果有影响，就从哪一步展开对参数的讨论；3对不同的参数取值范围所得的结果，不能取交集，也不能取并集(因为不是对主变量x的讨论)，而应按参数分类的方法依次列出解关于x的不等式：0(aR)【解】原不等式等价于当a0时，aa20，不等式组化为解集为；当a1时，aa21，不等式组化为解集为；当0a1时，a2a，a2xa，故不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，a2a，axa2，故不等式的解集为x|axa2综上所述，当a0或a1时，不等式的解集为；当0a1时，不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，不等式的解集为x|axa2拓展可化为一元一次不等式组来求解的不等式我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法，虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦故在求解形如(xa)(xb)0(或0)的一元二次不等式时，可根据有理数乘除运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解解不等式(x4)(x1)0.【解】原不等式等价于或由得x1；由得x4，所以原不等式的解集是x|x4或x1请问：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？(因为满足不等式组或中的x都能使原不等式(x4)(x1)0成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集这也说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等)解不等式0.【解】原不等式等价于(x3)(x7)0，也等价于或由得无解，由得7x3，所以原不等式的解集为x|7x3