高中数学 第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试 北师大版选修1-1

高中数学 第2章 2 2.2抛物线的简单性质同步测试 北师大版选修1-1一、选择题1顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(2,3)的抛物线方程是()Ay2xBx2yCy2x或x2yDy2x或x2y答案D解析点(2,3)在第二象限，设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，又点(2,3)在抛物线上，94p，p，46p，p.2(xx山师大附中高二期中)抛物线y22px(p0)的焦点恰好与椭圆1的一个焦点重合，则p()A1B2C4D.8答案C解析椭圆中a29，b25，c2a2b24，c2，F1(2,0)，F2(2,0)，抛物线y22px(p0)的焦点F(，0)与F1重合，2，p4，故选C.3动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案B解析圆心到直线x20的距离等于到抛物线焦点的距离，定点为(2,0)4抛物线y24x上点P(a,2)到焦点F的距离为()A1B2C4D8答案B解析点P(a,2)在抛物线上，4a4，a1，点P(1,2)又抛物线的焦点F坐标为(1,0)，|PF|2.5P为抛物线y22px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有()A|PP1|AA1|BB1|B|PP1|AB|C|PP1|AB|D|PP1|0)如图，|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FFA1A，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOAF1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.二、填空题7(xx长春市调研)已知F是抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|FB|，则_.答案32解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x26x10，求得x132，x232，故由抛物线的定义可得32.8沿直线y2发出的光线经抛物线y2ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为_答案x2解析由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x2.9一个正三角形的两个顶点在抛物线y2ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a_.答案2解析设正三角形边长为x.由题意得，36x2sin60，x12.当a0时，将(6，6)代入y2ax，得a2.当a0时，将(6，6)代入y2ax，得a2，故a2.三、解答题10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值答案(1)略(2)解析(1)如图所示，由方程组，消去x得，ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y21，y1y2.A，B在抛物线y2x上，yx1，yx2，yyx1x2.kOAkOB1，OAOB.(2)设直线与x轴交于N，显然k0.令y0，则x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1.SOAB，解得k.一、选择题11抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为()A.BC8D.8答案B解析yax2x2y，由题意得2，a，故选B.12设抛物线y28x的准线与x轴相交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则此直线的斜率的取值范围是()A，B2,2C1,1D4,4答案C解析准线x2，Q(2,0)，设yk(x2)，由，得k2x24(k22)x4k20，当k0时，x0，即交点为(0,0)；当k0时，由0得，1k0或00)上，O为坐标原点，如果|OA|OB|，且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()Axp0B4x3p0C2x5p0D2x3p0答案C解析如图所示：F为垂心，F为焦点，OAOB，OF垂直平分AB.AB为垂直于x轴的直线，设A(2pt2,2pt)(t0)，B(2pt2，2pt)，F为垂心，OBAF，kOBkAF1.即1，整理，解得t2.直线AB的方程为x2pt2，即xp，选C.14已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2B2C4D2答案B解析本题考查了抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等知识由于抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点且经过点M(2，y0)，可设方程为y22px，由点M到抛物线焦点的距为3，则由抛物线定义得23，解得p2，则y24x，又M(2，y0)在抛物线y24x上，则y8，|OM|2.二、填空题15(xx西安市长安中学期中)已知椭圆x2ky23k(k0)的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该椭圆的离心率是_答案解析抛物线的焦点为F(3,0)，椭圆的方程为：1，3k39，k4，a2，c3，离心率e.16过点P(2,2)作抛物线y23x的弦AB，恰被P所平分，则AB所在的直线方程为_答案3x4y20解析解法一：设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y3x1，y3x2，x1x24，y1y24.，得(y1y2)(y1y2)3(x1x2)将代入得y1y2(x1x2)，即，k.所求弦AB所在直线方程为y2(x2)，即3x4y20.解法二：设弦AB所在直线方程为yk(x2)2.由消去x，得ky23y6k60，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由韦达定理和中点坐标公式，得y1y2，又y1y24，k.所求弦AB所在直线方程为3x4y20.三、解答题17已知圆x2y29x0，与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，OAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程答案y24x解析依题意设所求抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，A(x0，y0)，B(x0，y0)，则，x(2p9)x00.OABF，kOAkBF1.1，即1.x0p.把代入得p2.所求抛物线方程为y24x.18抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程答案y24x解析如图所示，依题意设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x28.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由，消去y得x23px0，x1x23p.将其代入得p2，所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px时，同理可求得抛物线方程为y24x.