2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第2讲 函数与导数

2022年高考数学大二轮总复习 增分策略 第四篇 第2讲 函数与导数1求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题1函数f(x)lg(1x)的定义域是_2用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题问题2已知f(cos x)sin2x，则f(x)_.3分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题3已知函数f(x)那么f()的值为_4判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响问题4f(x)是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)5求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替问题5函数f(x)的减区间为_6弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)0.“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件问题6设f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，则该函数为()A(，)上的减函数B(，)上的增函数C(1,1)上的减函数D(1,1)上的增函数7求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)分离常数法：适合于一次分式问题7函数y(x0)的值域为_8函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称问题8函数f(x)的图象的对称中心是_9有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)f(xa)(a0)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.问题9对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x2)，若当2x0且a1，b0且b1，M0，N0.则loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM，对数换底公式：logaN.推论：logaN；logab.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)问题11函数y|log2|x1|的递增区间是_12幂函数yx(R)(1)若1，则yx，图象是直线当0时，yx01(x0)图象是除点(0,1)外的直线当01时，在第一象限内，图象是下凸的(2)增减性：当0时，在区间(0，)上，函数yx是增函数；当0时，在区间(0，)上，函数yx是减函数问题12函数f(x)xx的零点个数为_13函数与方程(1)对于函数yf(x)，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点事实上，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根(2)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0且a1)(2)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)(3)复合函数的导数：yxyuux.如求f(axb)的导数，令uaxb，则(f(axb)f(u)a.问题14f(x)e2x，则f(x)_.15利用导数判断函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f(x)a0)，axdx|.问题17计算定积分(x2sin x)dx_.例1函数ylog(x25x6)的单调递增区间为_错因分析忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x25x60.解析由x25x60知x|x3或x2令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数，ylog(x25x6)的单调增区间为(，2)答案(，2)易错点2分段函数意义理解不准确例2定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 016)的值为()A1 B0 C1 D2错因分析不理解分段函数的意义，误认为应将x2 016，代入log2(1x)，或者认为得不到f(2 016)的值解析f(2 016)f(2 015)f(2 014)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 010)f(0)0.答案B例3函数f(x)在(，)上单调，则a的取值范围是_错因分析只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求解析若函数在R上单调递减，则有解之得a；若函数在R上单调递增，则有解得1a，故a的取值范围是(，(1，答案(，(1，易错点3函数零点求解讨论不全面例4函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是()A(，1 B(，01C(，0)1 D(，1)错因分析解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m0的讨论，就会错选C.解析当m0时，x为函数的零点；当m0时，若0，即m1时，x1是函数唯一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)0，即m0.故选B.答案B易错点4混淆“过点”和“切点”例5求过曲线y3xx3上的点(2，2)的切线方程错因分析混淆过一点的切线和在一点处切线，错误认为(2，2)一定是切点解设切点为P(x0，y0)，则点P处的切线方程是yy0(33x)(xx0)点A在切线上，2y0(33x)(2x0)又点P在曲线C上，y03x0x.由、，解得x02或x01.当x02时，P点的坐标为(2，2)，切线方程是9xy160.当x01时，P点的坐标为(1，2)，切线方程是y20.综上，过点A的曲线C的切线方程是：9xy160或y20.易错点5极值点条件不清例6已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.错因分析把f(x0)0作为x0为极值点的充要条件，没有对a，b值进行验证，导致增解解析f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab7.答案7易错点6函数单调性与导数关系理解不准确例7函数f(x)ax3x2x5在R上是增函数，则a的取值范围是_错因分析误认为f(x)0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件，漏掉f(x)0的情况解析f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案a易错点7计算定积分忽视细节例8dx等于()A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2错题分析本题易出现的问题主要有两个方面：一是混淆求原函数和求导数的运算，误认为原函数为y()而找不到答案；二是记错公式，把积分的上、下限颠倒导致计算失误，而错选C.解析因为(ln x)，所以y的一个原函数是yln x，故dxln x|ln 4ln 2ln 2，故选D.答案D1(xx北京)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)2(xx山东)函数f(x)的定义域为()A. B(2，)C.(2，) D.2，)3下列各式中错误的是()A0.830.73 Blog0.50.4log0.50.6C0.750.1lg 1.44a是f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定5(xx天津)函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)6已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()7(xx福建)已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)8若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_9已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_10(xx江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_11已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围12已知函数f(x)ln(ax)(a0，aR)，g(x).(1)当a1时，记(x)f(x)，求函数(x)的单调区间；(2)若f(x)g(x)(x1)恒成立，求实数a的取值范围学生用书答案精析2函数与导数要点回扣问题1(1,1)(1，)问题21x2(x1,1)问题3问题4奇解析由得定义域为(1,0)(0,1)，f(x).f(x)f(x)，f(x)为奇函数问题5(，0)，(0，)问题6D由题意可知f(0)0，即lg(2a)0，解得a1，故f(x)lg ，函数f(x)的定义域是(1,1)，在此定义域内f(x)lg lg(1x)lg(1x)，函数y1lg(1x)是增函数，函数y2lg(1x)是减函数，故f(x)y1y2是增函数选D.问题7解析方法一x0，2x1，1，解得y1.其值域为y.方法二y1，x0，0，y.问题8(1,2)问题9问题10问题110,1)，2，)解析y作图可知正确答案为0,1)，2，)问题121问题13Bf(x)(x2)(x1)g(x)3x4，f(1)031410.又函数yg(x)的图象是一条连续曲线，函数f(x)在区间(1,2)内有零点因此方程f(x)0在(1,2)内必有实数根问题142e2x问题15a解析f(x)ax32x2x1的导数f(x)3ax24x1.由f(x)0，得解得a.a时，f(x)(2x1)20，且只有x时，f(x)0，a符合题意问题16x1问题17解析(x2sin x)dx.查缺补漏1AA项，函数y在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故正确；B项，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；C项，函数y2x()x在R上为减函数，故错误；D项，函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误2C由题意知解得x2或0x.故选C.3C构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数yx3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数ylog0.5x为减函数，ylg x为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y0.75x，为减函数，故C错4B函数f(x)2xlogx2xlog2x在(0，)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调性，知在(0，a)上，这个函数的函数值小于零，即f(x0)0.5D因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)6A从导函数图象上可以看出函数f(x)的单调递增区间是(2,0)，单调递减区间是(，2)，(0，)，故函数图象最有可能是选项A中的图象7D函数f(x)的图象如图所示，由图象知只有D正确8(2,2)解析因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|)因为f(x)0，f(2)0.所以f(|x|)f(2)又因为f(x)在(，0上是减函数，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以|x|2，所以2x1时，两个函数图象的交点只有一个所以实数a的取值范围是(1，)10(，0)解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0且x1，所以(x)0.故函数(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，)(2)因为ln(ax)对x1恒成立，所以ln aln x，即ln a1ln x对x1恒成立令h(x)1ln x，则h(x)，因为x1，故h(x)0.所以h(x)在区间1，)上单调递减，由ln ah(x)maxh(1)0，解得a1.故实数a的取值范围为1，)