2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点问题练习理

2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点问题练习理一、填空题1.曲线yxex1在点(0，1)处的切线方程是_.解析yexxex(x1)ex，y|x01，所求切线方程为：xy10.答案xy102.(xx洛阳模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为_.解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，所以a2.答案23.(xx全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.解析设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1.答案2xy104.已知f(x)x3fx2x，则f(x)的图象在点处的切线斜率是_.解析f(x)3x22fx1，令x，可得f32f1，解得f1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是1.答案15.函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_.解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数f(x)在(，1)和(3，)上是增函数，在(1，3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案36.(xx常州监测)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4，0)7.已知yf(x)为R上的可导函数，当x0时，f(x)0，若g(x)f(x)，则函数g(x)的零点个数为_.解析令h(x)xf(x)，因为当x0时，0，所以0，因此当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，又h(0)0，易知当x0时，h(x)0，又g(x)，所以g(x)0，故函数g(x)的零点个数为0.答案08.(xx安徽卷)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号).a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，则需f(x)极大0，b2，正确，所有正确条件为.答案二、解答题9.(xx扬州质检)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0，此时函数单调递增；当1xe时，g(x)0，此时函数单调递减.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.10.(xx江苏高考命题原创卷)已知函数f(x)x2aln x1，函数F(x).(1)如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a2时，你认为函数y的图象与yF(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.解(1)f(x)x2aln x1的定义域为(0，)，函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，f(x)2x0在(0，)上恒成立.a2x2在(0，)上恒成立，y2x20在(0，)上恒成立，a0.所求的a的取值范围为(，0.(2)当a2时，函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点.证明如下：当a2时，y，它的定义域为x|x0且x1，F(x)的定义域为0，).当x0且x1时，由F(x)得x22ln xx220.设h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1.当0x1时，h(x)0，此时，h(x)单调递减；当x1时，h(x)0，此时，h(x)单调递增.当x0且x1时，h(x)h(1)0，即h(x)0无实数根.当a2，x0且x1时，F(x)无实数根.当a2时，函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点.11.(xx全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点.设a0，因此f(x)在(1，)上单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0，因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).(2)证明不妨设x1x2.由(1)知x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.