2022年高考数学专题复习 第26讲 平面向量的数量积练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第26讲 平面向量的数量积练习 新人教A版考情展望1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想一、平面向量的数量积1数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos ，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2向量的投影：设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积二、平面向量数量积的运算律1交换律：abba；2数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；3分配律：a(bc)abac.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|1已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52 D78【解析】 bc426326，(bc)a(26，78)【答案】A2已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】 向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，设a与b的夹角为，则cos ，.【答案】C3已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A|a| B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|【解析】 |ab|a|b|cos |，故B错误【答案】B4已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0 B2 C4 D8【解析】 |a|1，|b|2，ab0|2ab|2.【答案】B5(xx湖北高考)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D【解析】 由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影为.【答案】A6(xx课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.【解析】 |a|b|1，a，b60.cta(1t)b，bctab(1t)b2t11(1t)11t1.bc0，10，t2.【答案】2考向一 077平面向量数量积的运算(1)(xx浙江高考)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.(2)(xx北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_【思路点拨】(1)把，用，或表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示或用数量积的几何意义求解【尝试解答】(1)如图所示，()()22|2|292516.(2)法一如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)又E在AB边上，故设E(t,0)(0t1)则(t，1)，(0，1)故1.又(1,0)，(t，1)(1,0)t.又0t1，的最大值为1.法二ABCD是正方形，.|cosEDA|cosEDA|21.又E点在线段AB上运动，故为点E与点B重合时，在上的投影最大，此时|cos 451.所以的最大值为1.【答案】(1)16(2)11规律方法11.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形.对点训练(1)(xx江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影为_(2)(xx济南模拟)在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.【解析】 (1)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以a在b方向上的投影为|a|cosa，b.(2)2，3，点D是线段BC的中点，点E是线段CA的三等分点，以向量，作为基向量，()，()()22，又|1，且，.|cos .【答案】(1)(2)考向二 078平面向量的夹角与垂直(1)(xx安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(2)(xx山东高考)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【思路点拨】(1)由|a|a2b|平方得出ab，然后代入夹角公式cosa，b求解(2)把转化为，再通过0求解【尝试解答】(1)由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(2)，0.又，()()0，即(1)220，(1)|cos 120940.(1)32940.解得.【答案】(1)(2)规律方法21.当a，b以非坐标形式给出时，求a，b的关键是借助已知条件求出|a|、|b|与ab的关系.2.(1)非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常见的错误是不会借助向量减法法则把表示成，导致求解受阻.对点训练(1)已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，则a与ab的夹角为_(2)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.【解析】 (1)由|a|b|ab|得，|a|2|b|2，|b|2a22abb2，所以aba2.而|ab|2|a|22ab|b|22|a|22|a|23|a|2，所以|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos ，由于0180，所以30.(2)a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0.即k1kcos cos 0.(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0.又a与b不共线，cos 1，k1.【答案】(1)30(2)1考向三 079平面向量的模及其应用(1)(xx威海模拟)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A.B.C2D10(2)(xx郑州模拟)已知(cos ，sin )，(1sin ，1cos )，其中0，求|的取值范围及|取得最大值时的值【思路点拨】(1)由ac求x的值，由bc求y的值，求ab，求|ab|.(2)【尝试解答】(1)a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc得1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.【答案】B(2)(1sin cos ，1cos sin )，|P|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0，1sin 21，|22,6，|，当sin 21，即时，|取得最大值规律方法31.x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件.2.求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：(1)利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|及(ab)2|a|22ab|b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解决.对点训练(1)(xx安徽高考)设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.(2)已知向量a(sin ，1)，b(1，cos )，.若ab，则_.若|ab|的最大值为1，则_.【解析】 (1)ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.(2)由ab得sin cos 0，tan 1.，.|ab|a22abb2sin212sincos2132sin.，.当，即时|ab|2最大为32，而1.|ab|取最大值1时，.【答案】(1)(2)易错易误之九忽略向量共线条件致误1个示范例1个防错练(xx广州模拟)已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_【解析】 a与ab均为非零向量，且夹角为锐角，a(ab)0，即(1,2)(1，2)0，(1)2(2)0，当a与 ab共线时，存在实数m，使abma，此处在求解时，常因忽略“a与ab共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为ab0与a，b为锐角等价.即(1，2)m(1,2)，0，即当0时，a与ab共线综上可知，的取值范围为.【防范措施】 1.a，b的夹角为锐角并不等价于ab0，ab0等价于a与b夹角为锐角或0.2.依据两向量的夹角求向量坐标中的参数时，要注意0或180的情形.其中cos 010，cos 18010.)已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_【解析】 由ab0，即230，解得.又当ab时，6，故所求的范围为且6.【答案】