2022年高考数学专题复习 第17讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第17讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数练习 新人教A版考情展望1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定一、角的有关概念1从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角2从终边位置来看，可分为象限角与轴线角3若与是终边相同的角，则用表示为2k(kZ)二、弧度与角度的互化11弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角2角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.3角度与弧度的换算1rad；1 rad.4弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(rad)，半径为r，则lr，扇形的面积为Slrr2.角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用三、任意角的三角函数1定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个B2个C3个D4个【解析】中是第三象限角，故错误中，从而是第三象限角正确中40036040，从而正确中31536045，从而正确【答案】C2已知角的终边过点P(1,2)，则sin ()A. B. C D【解析】由三角函数的定义可知，sin .【答案】B3若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由sin 0，得在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan 0，在第三象限【答案】C4弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_【解析】l3，135，r4，Slr346.【答案】465(xx江西高考)下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()Ay ByCyxex Dy【解析】函数y的定义域为x|x0，选项A中由sin x0xk，kZ，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中，xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x0，故选D.【答案】D6(2011江西高考)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.【解析】由三角函数的定义，sin ，又sin 0，y0且，解之得y8.【答案】8考向一 047角的集合表示及象限角的判定(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)已知是第三象限角，求所在的象限【思路点拨】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解(2)把写成集合的形式，从而的集合形式也确定【尝试解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为，当角的终边在第三象限时，角的集合为，故所求角的集合为.(2)2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，是第二象限角，当k2n1(nZ)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或第四象限角规律方法11.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断.2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.对点训练若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限【解析】当k2n(nZ)时，n36045，所以在第一象限当k2n1(nZ)时，n360225，所以在第三象限综上可知，在第一或第三象限【答案】A考向二 048扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积【思路点拨】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角；(3)利用S弓S扇S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积【尝试解答】(1)l10(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10，2 rad.(3)设弓形面积为S弓由题知lcm，S弓S扇S222sin (cm2)规律方法21.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.2.本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法.3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形.对点训练已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB为等边三角形因此弦AB所对的圆心角.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得lR10，S扇形RlR2.又SAOBOAOBsin 25.弓形的面积SS扇形SAOB50.考向三 049三角函数的定义(1)已知角的终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()AB.C4D4(2)已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值【思路点拨】(1)求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解(2)在直线上设一点P(4t，3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论【尝试解答】(1)点P到原点O距离|OP|，cos ，m4.【答案】C(2)在直线3x4y0上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r|PO|5|t|，当t0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，当t0时，sin ，cos ，tan .当t0时，sin ，cos ，tan .规律方法3定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.对点训练设90180，角的终边上一点为P(x，)，且cos x，求4sin 3tan 的值【解】r，cos ，从而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.则r2，sin ，tan .故4sin 3tan .易错易误之六|a|a三角函数定义求值中引发的分类讨论1个示范例 1个防错练(xx临沂模拟)已知角的终边上一点p(3a,4a)(a0)，则sin _.【解析】x3a，y4a，r5|a|.此处在求解时，常犯r5a的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a进行讨论.(1)当a0时，r5a，sin .(2)当a0时，r5a，sin sin .【防范措施】1.对于|a|，在去掉绝对值号后，应分a0和a0两种情况讨论.2.已知角终边上任意一点p(x，y)，求三角函数值时，应用sin ，cos ，tan 求解.已知角的终边落在直线y2x上，则sin cos _.【解析】在角的终边上任取一点P(t,2t)(t0)，则r|OP|t|(1)若t0，则sin ，cos ，sin cos .(2)若t0，则sin ，cos ，sin cos .综上所述，sin cos .【答案】