2022年高考数学专题复习 第41讲 排列与组合练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第41讲 排列与组合练习 新人教A版考情展望1.以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想.2.以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查一、排列与排列数1排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.二、组合与组合数1组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.三、排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn)特别地C1.性质(1)0！1；(2)An！.(2)CC；CCC.解排列、组合应用题的常见策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处理的策略1从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A9个 B24个 C36个 D54个【解析】选出符合题意的三个数字有CC种方法，这三个数可组成CCA54个没有重复数字的三位数【答案】D2甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A6种 B12种 C30种 D36种【解析】从反面考虑：甲、乙所选的课程，共有CC种不同的选法，其中甲、乙所选的课程都相同的选法有C种故甲、乙所选的课程至少有1门不同有CCC30(种)【答案】C3A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A24种 B60种 C90种 D120种【解析】可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A60(种)【答案】B4某电视台在直播xx年伦敦奥运会时，连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放则不同的播放方式有_种【解析】3个商业广告共有A种排法，奥运广告不连续播放，最后播放的必须是奥运广告有CA种排法故共有ACA36(种)【答案】365(xx大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)【解析】由题意知，所有可能的决赛结果有CCC61 60(种)【答案】606(xx北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A42496(种)【答案】96考向一 175排列应用题6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？(1)甲不站排头，乙不能站排尾；(2)甲、乙都不站排头和排尾；(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；(4)甲、乙都不与丙相邻【思路点拨】(1)按甲站的位置分类求解；(2)先排甲、乙的位置，再排其他学生；(3)不相邻问题用插空法求解；(4)按丙站的位置分类求解【尝试解答】(1)分两类：甲站排尾，有A种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有AAA种由分类计数原理，共有AAAA504(种)(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A种；再站其余4人，有A种由分步计数原理，共有AA288(种)(3)分两步：先站其余3人，有A种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A种由分步计数原理，共有AA144(种)(4)分三类：丙站首位，有AA种；丙站末位，有AA种；丙站中间四个位置中的一个，有AAA种由分类计数原理，共有2AAAAA288(种)规律方法11.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法对点训练用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列【解】(1)AA480；(2)AAA192；(3)AAAAA408；(4)AAAAA120；(5)A2AA504；(6)AA60.考向二 176组合应用题男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员【思路点拨】第(1)问可以用直接法或间接法求解第(2)问根据有无女队长分类求解【尝试解答】(1)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种)法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种所以“至少有1名女运动员”的选法为CC246(种)(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法不选女队长时，必选男队长，共有C种选法其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有CC种选法，所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191(种)规律方法21.本题中第(1)小题，含“至少”条件，正面求解情况较多时，可考虑用间接法.第(2)小题恰当分类是关键.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.对点训练xx年中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机，若从中、俄两方中各选出2个单位(1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有()A51种B224种C240种D336种【解析】由题意，可分类求解：一类是一架飞机来自于中方CCC60一类是一架飞机来自于外方CCC180，CCCCCC60180240，【答案】C考向三 177排列组合的综合应用(1)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为_(2)现需编制一个八位的序号，规定如下：序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成；2个x不能连续出现，且y在z的前面；数字在0、1、2、9之间任选，可重复，且四个数字之积为8，则符合条件的不同的序号种数有()A12 600B6 300C5 040D2 520【思路点拨】(1)分两种情形求解：甲、乙分到的车间不再分人；甲、乙分到的车间再分一人(2)首先积为8的只能是三个1和一个8或者是三个2和一个1或者一个4，一个2和两个1，先把这四个数字排好，然后加上从8个位置选2个位置安排yz，最后插入两个x，利用乘法原理即可得出答案【尝试解答】(1)若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有CAC18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3AC18种所以满足题意的分法共有181836(种)(2)首先积为8的只能是三个1和一个8或者是3个2和一个1或者一个4和一个2和两个1，先把这四个数字排好，有CCA20(种)，然后排yz，四个数加上yz共六个位置，yz占两个，排法有C种，最后在这六个数(或字母)形成的共7个空中插入x，有C种，则符合条件的不同的序号种数有20CC6 300.【答案】(1)36(2)B规律方法31.解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).2.不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：(1)不均匀分组.(2)均匀分组.(3)部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.对点训练(1)已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33B34C35D36(2)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项，若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有()A60种 B72种 C84种 D96种【解析】(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有A1A.当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个由分类计数原理，共确定不同的点有CAACA33个(2)根据题意，分两种情况讨论：甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有CCA36种选派方案甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有CACA36种选派方案，综上可得，共有363672种不同的选派方案【答案】(1)A(2)B思想方法之二十三解排列组合问题的妙招“排除法”解决排列组合应用问题时，一是要明确问题中是排列还是组合或排列组合混合问题；二是要讲究一些基本策略和方法技巧对于“至少”“至多”型排列组合问题，若分类求解时，情况较多，则可从所有方法中减去不满足条件的方法，即正难则反问题用排除法解决1个示范例1个对点练某学校星期一每班都排9节课，上午5节、下午4节，若该校李老师在星期一这天要上3个班的课，每班1节，且不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么李老师星期一这天课的排法共有()A474种B77种C462种D79种【解析】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A504种排法，其中上午连排3节的有3A18种，下午连排3节的有2A12种，则这位教师一天的课表的所有排法有5041812474种学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有()A36种B30种C24种D6种【解析】由于每科一节课，每节至少有一科，必须有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共CA种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共A种方法，故总的方法种数为：CAA36630【答案】B