2022年高考数学一轮复习 第二讲 椭圆讲练 理 新人教A版

2022年高考数学一轮复习 第二讲 椭圆讲练 理 新人教A版一、椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)若2a|F1F2|，则集合P为椭圆；(2)若2a|F1F2|，则集合P为线段；(3)若2a|F1F2|，则集合P为空集二、椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabxbbybaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)B1(0，b)，B2(0，b)B1(b,0)，B2(b,0)离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2点P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.基础自测1设P是椭圆1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10【解析】依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.【答案】D2“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】要使方程1表示椭圆，应满足5m0，m30且5mm3，解之得3m5且m1，“3m5”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件【答案】B3椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21【解析】若a29，b24k，则c，由即，得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.【答案】C4已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且过点P(5,4)，则椭圆的方程为_【解析】设椭圆方程为1(ab0)，由于，故a25c2，b24c2，椭圆方程为1，P(5,4)在椭圆上代入解得c29，于是所求椭圆的方程为1.【答案】1考点一 椭圆的定义与标准方程例 xx全国卷 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4 ，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案：4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.方法与技巧1.(1)求椭圆的标准方程的方法：定义法；待定系数法；轨迹方程法.(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值.运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程.2.涉及椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义，向量运算，并注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|整体代换.跟踪练习 (xx大纲全国卷)已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1【解析】由题意知椭圆焦点在x轴上，且c1，可设C的方程为1(a1)，由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|3，知点必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a417a240，所以a24或a2(舍去)故椭圆C的方程为1.【答案】C考点二 椭圆的几何性质例 (1)(xx辽宁高考)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A.B.C.D.(2)已知椭圆：1(0b3)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|的最大值为8，则b的值是()A2 B. C. D.【思路点拨】(1)利用余弦定理确定AF，进而判定ABF的形状，利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率(2)因AF2B的周长等于两个长轴长，欲使|的值最大，只需|AB|最小，利用椭圆的性质可求得b的值【尝试解答】(1)在ABF中，|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10282210836，则|AF|6.由|AB|2|AF|2|BF|2可知，ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c|OF|5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，有平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|AF1|8.由椭圆的性质可知|AF|AF1|142aa7，则e.(2)F1、F2为椭圆1的两个焦点，|AF1|AF2|6，|BF1|BF2|6，AF2B的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|12，当|AB|最小时，|的值最大，又当ABx轴时，|AB|最小，此时|AB|，故128，b.【答案】(1)B(2)D方法与技巧1.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.2.e与a，b间的关系e212.跟踪练习 (xx福建高考)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_【解析】已知F1(c,0)，F2(c,0)，直线y(xc)过点F1，且斜率为，倾斜角MF1F260.MF2F1MF1F230，F1MF290，|MF1|c，|MF2|c.由椭圆定义知|MF1|MF2|cc2a，离心率e1.【答案】1考点三 直线与椭圆的位置关系例 xx江苏卷 如图15所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值图15解： 设椭圆的焦距为2c, 则 F1(c, 0), F2(c, 0)(1)因为B(0, b), 所以BF2a.又BF2， 故a.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 1.解方程组得所以点 A 的坐标为.又AC 垂直于x 轴， 由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为.因为直线 F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2，故e2，因此e.方法与技巧直线与椭圆相交问题解题策略,当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据.跟踪练习 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值【解】(1)由题意得，c2a2，b2a2c24.所以椭圆c的方程为：1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由，消去y得3x24mx2m280968m20，2m2x0，y1x0m点M(x0，y0)在圆x2y21上，221，即m.(2，2)，所求m的值为.