2022年高考数学专题复习 第44讲 古典概型练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第44讲 古典概型练习 新人教A版考情展望1.考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点.2.在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主一、基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的2任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和古典概型中基本事件数的计算方法(1)列举法：此法适合于较简单的试验(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求(3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便(4)排列、组合数公式法二、古典概型1定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 2古典概型的概率公式P(A).1甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.B.C.D.【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为P.【答案】C2有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B. C. D.【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有339种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P.【答案】A3三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_【解析】三张卡片随机排成一行的基本事件有BEE，EBE，EEB，共3个，故所求概率为P.【答案】4从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_【解析】从1,2,3,4中随机取两个数，不同的结果为1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共有6个基本事件满足一个数是另一个数两倍的取法有1,2，2,4共两种，所求事件的概率P.【答案】5(xx江西高考)集合A2,3，B1,2,3，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A. B. C. D.【解析】从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P.【答案】C6(xx课标全国卷)从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n_.【解析】由题意知n4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P，即n2n560，解得n7(舍去)或n8.【答案】8考向一 184古典概型的概率(1)某艺校在一天的5节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他两门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为()A.B.C.D.(2)甲口袋中装有大小相同的标号分别为1,2,3,4的4个小球，乙口袋中装有大小相同的标号分别为2,3,4,5的4个小球现从甲、乙口袋中各取一个小球求两球标号之积为偶数的概率；设为取出的两球的标号之差的绝对值，求对任意xR，不等式x23x0恒成立的概率【思路点拨】(1)把5门课全排列得到5门课一天的所有排法种数，分类求出相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法种数，然后利用古典概型概率计算公式求概率(2)依题意，所求事件的概率满足古典概型，分别求基本事件总数与所求事件所包含的基本事件个数，进而利用古典概型概率公式计算【尝试解答】(1)一天中5节课的安排情况共有A120种相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法分3类(1)语文、数学、外语三门文化课之间没有艺术课，可把3节文化课捆绑在一起与2门艺术课全排列，排法种数为AA36种；(2)语文、数学、外语三门文化课全排列，之间产生3个空，有两门之间插1节艺术课，另两门文化课相邻，排法种数为ACAA48种；(3)语文、数学、外语三门文化课每两门之间插1节艺术课，排法种数为AA12种故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为.【答案】A(2)设两球标号之积为偶数为事件A，则其对立事件为两球标号之积为奇数，P(A)1P()1.对任意xR，不等式x23x0恒成立，则x23x0的判别式，9,90.又N，2,3,4.当2时，甲取1乙取3，甲取2乙取4，甲取3乙取5，甲取4乙取2；当3时，甲取1乙取4，甲取2乙取5；当4时，甲取1乙取5，概率为P.规律方法11.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.2.(1)用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.对点训练(1)如图1051，图1051给定由6个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取2个点，则两点间的距离为2的概率是()A.B.C. D.(2)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率【解析】(1)从6个点中选出2个的选法共有C15种若使得取出的两点中距离为2，则只能是三角形的顶点中任意取出2个，只有3种情况P故选B.【答案】B(2)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有nCC9种选法记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数mC1C14，P(A).从报名的6人中任选2名，有nC15种选法记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m2C6.选出2名教师来自同一学校的概率P(B).考向二 185古典概型与统计的综合应用某高校在xx年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示组号分组频数频率第1组160,165)50.050第2组165,170)350.350第3组170,175)300.300第4组175,180)200.200第5组180,185100.100合计1001.00(1)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(2)在(1)的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【思路点拨】(1)根据分层抽样方法求解(2)利用古典概型公式计算【尝试解答】(1)第3、4、5组共有60名学生，利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：63人，第4组：62人，第5组：61人，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人(2)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C15种满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有CC19种结果，至少有一位同学被A面试的概率为规律方法2有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.对点训练某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据，其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不大于0.2的概率【解】(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7，(2)从这六个班中任意抽取两个学生视力的平均值作比较，所有的取法共有C15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值的绝对值不大于0.2的取法有(4.3,4.5)、(4.3,4.6)、(4.3,4.7)、(4.3,4.8)、(4.4,4.6)、(4.4,4.7)、(4.4,4.8)、(4.5,4.7)、(4.5,4.8)、(4.6,4.8)，共有9个，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不大于0.2的概率为.规范解答之二十一古典概型问题求解策略第一步：理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：分析所求事件，找出所求事件的个数；第三步：根据古典概型概率公式求解得出结论1个示范例1个规范练(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率【规范解答】(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)(C，E)，(D，E)共10种.3分由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)共3种.5分所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.6分(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.9分由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8种.11分所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.12分【名师寄语】(1)在列举基本事件空间时，易漏掉或重复计数，故要特别关注细节，使解题结果准确过程完善.(2)在解决该类问题时，必要时要先将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.(xx泰安二模)学校游园活动有一个游戏项目：箱子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从箱子里摸出3个球，若摸出的是3个红球为优秀；若摸出的2个红球1个白球为良好；否则为合格(1)求在1次游戏中获得优秀的概率；(2)求在1次游戏中获得良好及以上的概率【解】将3个红球编号1,2,3；2个白球编号为4,5.则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)共10种令D表示在1次游戏中获得优秀的事件，则获得优秀的情况为(123)共一种，E表示在1次游戏中获得良好的事件，则获得良好的情况为(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)共6种F表示在1次游戏中获得良好及以上的事件(1)P(D)；(2)P(E)，P(F)P(D)P(E).