2022年高考数学专题复习 第14讲 导数的应用（一）练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第14讲 导数的应用（一）练习 新人教A版考情展望1.利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2.利用导数求函数的极值与闭区间上的最值.3.借助导数求参数的范围一、函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数导数与函数单调性的关系f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)0不恒成立)二、函数的极值与导数1函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在xa附近的左侧f(x)0，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值2函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值f(x0)0同x0是f(x)极值点的关系f(x0)0是x0为f(x)的极值点的非充分非必要条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点；又如f(x)|x|，x0是它的极小值点，但f(0)不存在三、函数的最值与导数1函数f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值同最值的关系极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图2111所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()图2111A1个B2个C3个 D4个【解析】导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.【答案】A2当x0时，f(x)x的单调减区间是()A(2，) B(0,2)C(，) D(0，)【解析】f(x)1，令f(x)0，0x2，f(x)的减区间为(0,2)【答案】B3函数f(x)x2ln x的最小值()A. B1C不存在 D0【解析】f(x)x，且x0，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.f(x)在x1时取最小值f(1)ln 1.【答案】A4设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点【解析】f(x)xex，f(x)exxexex(1x)当f(x)0时，即ex(1x)0，即x1，x1时函数yf(x)为增函数同理可求，x0.由f(x)0，得xln 2.由f(x)0，得0xln 2.2分所以函数f(x)的单调增区间为(，0)和(ln 2，)，单调减区间为(0，ln 2).3分(2)因为f(x)(x1)exkx2，所以f(x)xex2kxx(ex2k)令f(x)0，解得x10，x2ln(2k)，因为k，所以2k(1,2，所以00，即0ln(2k)k.6分所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，ln(2k)ln(2k)(ln(2k)，k)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)在0，k上的最大值为f(0)或f(k).7分f(0)1，f(k)(k1)ekk3，f(k)f(0)(k1)ekk31(k1)ek(k31)(k1)ek(k1)(k2k1)(k1)ek(k2k1).8分因为k，所以k10.令h(k)ek(k2k1)，则h(k)ek(2k1)对任意的k，yek的图象恒在y2k1的图象的下方，所以ek(2k1)0，即h(k)0，所以函数h(k)在上为减函数，故h(1)h(k)he0，所以f(k)f(0)0，即f(k)f(0).11分所以函数f(x)在0，k上的最大值Mf(k)(k1)ekk3.12分【名师寄语】1.求函数的单调区间，转化为解不等式f(x)0和f(x)0，考查了转化与化归思想.2.判断函数在给定区间0，k上的单调性，需要考虑f(x)0的根和区间端点的大小，求函数的最大值，需要比较f(0)和f(k)的大小，都考查了分类讨论思想的应用.3.比较区间端点k和函数f(x)的零点ln(2k)的大小及ek与k2k1的大小时，均构造了函数，并借助导数解决，需要较强的分析问题和解决问题的能力.已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围【解】(1)由f(x)(xk)2e，得f(x)(x2k2)e，令f(x)0，得xk，若k0，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)，单调递减区间是(k，k)若k0，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)，单调递增区间是(k，k)(2)当k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)等价于f(k)，解得k0.故当x(0，)，f(x)时，k的取值范围是.