2022年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第三节直线与圆锥曲线的位置关系 文

2022年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第三节直线与圆锥曲线的位置关系 文 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容，是命题的热点也是难点.一般出现一小（选择题或填空题）一大（解答题）两道，小题通常属于中低档题，难度系数为0.5-0.7左右，大题通常是高考的压轴题，难度系数为0.30.5左右.考试要求：(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出现，主要涉及弦长，弦中点，对称，参变量的取值范围，求曲线方程等问题.突出考查了数形结合，分类讨论，函数与方程，等价转化等数学思想方法. （2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联系方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.题型一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 在平面直角坐标系中,经过点(且斜率的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围.（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数,使的向量与共线？如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.点拨:(1)设出L的方程与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出的范围. (2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出,再根据的取值范围确定是否存在.解： (1)由已知条件,直线的方程为代入椭圆方程得 整理得( 直线与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于= 解得即的的取值范围为(2)设P(, 则= 由方程得 又 而A所以与共线等价于 解得由(1)知矛盾,故没有符合题意的常数.易错点: 忽视的取值范围导致错误.图变式与引申1.已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率是( )A(1,2 B C2，+ D题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题解（1）：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以=当且仅当时，取到最大值（2）：由 得， ， 设到的距离为，则 ，又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或易错点：（1）忘记均值不等式的应用导致寸步难行.（2）忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出错.变式与引申2.设椭圆与直线相交于A B两点，点C是AB的中点，若OC的斜率为求椭圆的方程.题型三 直线与圆锥曲线中点弦的问题例3 已知双曲线的方程为（1）求以A（2，1）为中点的弦所在直线的方程；（2）以点B（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由.点拨:（1）利用设而不求法和点差法构建方程，结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率.也可设点斜式方程,与双曲线方程联立，利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率k. (2)仿照（1）求出方程，但要验证直线与双曲线是否有交点.解：（1）设是弦的两个端点，则有两式相减得 A（2，1）为弦的中点， 代入得 .故直线的方程为（2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求由得 =所求直线与双曲线无交点. 以B(1,1)为中点的弦不存在.易错点：存在性问题的结果通常是难以预料的，求时通常可求得，但不是充要条件，因此学生容易忽视.变式与引申3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，直线与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）A B C D题型四 有关对称问题解：（1）因为点P在椭圆C上，所以即在，故椭圆的半焦距c =，从而 所以椭圆C的方程为. （2）法一：已知圆的方程为 所以圆心，设8由题意得 得 因为A,B关于点M对称，所以代人得 即直线L的斜率为，所以直线L的方程为（经检验，所求直线方程符合题意）法二：设已知圆的方程为所以圆心.从而可设直线L的方程为代入椭圆C方程得因为A,B关于点M对称，所以，所以直线L的方程为（经检验，所求直线方程符合题意）易错点：单独求解A,B两点运算量很大，容易出错.采用“设而不求”简单方便.图变式与引申4. 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点.(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求面积的最小值；(2)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 本节主要考查：1.的位置关系可分为，相交，相离，相切.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但不相切.有一个公共点是直线与抛物线，双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.点评：当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往能事半功倍.习题6-31. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D.2. 已知(1,1)为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在（1，1）点被平分，此弦所在的直线方程.3直线L：y=kx+1,抛物线C:，当k为何值时L与C有：（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点.4. 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点（1）当k为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上；（2）当k为何值时，A、B两点在双曲线的两支上；（3）当k为何值时，以A、B为直径的圆过坐标原点.5（xx年高考重庆卷文）如图6-3-3，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。【答案】变式与引申1. C提示：过点F且倾斜角为的直线L与双曲线的右支有且只有一个交点的充要条件是：直线L与双曲线的渐近线平行（即一条渐近线的斜率=）或直线L与双曲线的左，右两支各有一交点.即.综合得 所以2. 解：设A，则的解由 两式相减得 即 再由方程组消去y得由由解得 故所求的椭圆的方程为3. D提示：依题意有 则双曲线方程为.设M 则 ，两式相减得 再由 ，所以由，得所以双曲线的方程为，故选D4. 解法一：(1)依题意，如图6-3-1，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得.由韦达定理得，.于是.，当时，. (2)假设满足条件的直线存在，其方程为，如图6-3-2的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为.，.令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法二：(1)前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得.从而，当时，.(2)假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，则.设直线与以为直径的圆的交点为，则有.令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.习题6-31D提示：双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D. 2解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为，弦的两端点（），）.由 消去得 （故弦所在的直线方程为.即.解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，且设弦的两端点坐标为（），），则，两式相减得.此弦所在的直线方程为.3. 解：将和C的方程联立，消去y得 当k=0时，方程只有一个解.此时直线与C只有一个公共点（），此时直线平行于抛物线的对称轴.当k0时，方程是一个一元二次方程，=.（1） 当时，即k1且k0时，与C有两个公共点，此时称直线与C相交;（2） 当时,即k=1时，与C有一个公共点，此时称直线与C相切；（3） 当时，即k1时，与C没有公共点，此时称直线与C相离.综上所述，当k=1或k=0时，直线与与C有一个公共点；当k1且k0时，直线与C有两个公共点；当k1时，直线与C没有公共点.4. 解：由消去y，得 当时，由且（1）当交点A、B在同一支上，则 或，又 （2）A、B在双曲线两支上时，（3）设，由得：， 又，所以，所以把代入上式得：.5解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为（II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知