2022年高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课时训练 理 新人教A版

2022年高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课时训练 理 新人教A版 一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，有可能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，则an0.而选项A中an2.选项B中an156.选项C中an1，选项D中an330，故选D.答案：D2直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为()A2BC D解析：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故121(x2x)1(x)0，解得x.答案：D3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B.答案：B4如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF.当A1、E、F、C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为()A BC D解析：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6，3,0)、F(3，6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1，1)，故平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为.故选B.答案：B5在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()A BC D解析：取AC中点E，连接BE，则BEAC，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0,0,1)，则.平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面AA1C1C，为平面AA1C1C的一个法向量，cos，设AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin |cos，|.故选A.答案：A6(xx年高考大纲卷)已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是()A BC D解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA12AB2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则得令z1，则y2，x2，所以平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.故选A.答案：A二、填空题7平面的一个法向量n(0,1，1)，如果直线l平面，则直线l的单位方向向量是_解析：直线l的方向向量平行于平面的法向量，故直线l的单位方向向量是0，.答案：0，或0，8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离是_解：法一以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设点E(1，a,1)(0a1)，连接D1E，则(1，a,0)连接A1D，易知A1D平面ABC1D1，则(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量点E到平面ABC1D1的距离是d.法二点E到平面ABC1D1的距离，即B1到BC1的距离，易得点B1到BC1的距离为.答案：9(xx合肥月考)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于_解析：过C点作CO平面ABDE，垂足为O，取AB中点F，连接CF、OF，则CFO为二面角CABD的平面角，设AB1，则CF，OFCFcosCFO，OC，则O为正方形ABDE的中心，如图所示建立直角坐标系Oxyz，则E，M，A，N，cos，.答案：10空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD，AE的中点，给出如下命题：ADMN；MN平面CDE；MNCE；MN，CE异面则所有的正确命题为_解析：如图设a，b，c，则|a|c|且abcb0.(bc)(ab)(ca)，(ca)b(cbab)0，故ADMN；ca2，故MNCE，故MN平面CDE，故正确；正确时一定不正确答案：三、解答题11(xx陕西西安五校三模)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上 (1)求异面直线D1E与A1D所成的角；(2)若二面角D1ECD的大小为45，求点B到平面D1EC的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系(1)由A1(1,0,1)，得(1,0,1)，设E(1，a,0)，又D1(0,0,1)，则(1，a，1)1010，则异面直线D1E与A1D所成的角为90.(2)m(0,0,1)为平面DEC的法向量，设n(x，y，z)为平面CED1的法向量，则cosm，ncos 45，z2x2y2由C(0,2,0)，得(0,2，1)，则n，即n0，2yz0由、，可取n(，1,2)，又(1,0,0)，所以点B到平面D1EC的距离d.12(xx福建厦门联考)如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC，平面PAC平面ABC，PDAC于点D，AD1，CD3，PD. (1)证明PBC为直角三角形；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值(1)证明：以点E(AC中点)为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则B(，0,0)，C(0,2,0)，P(0，1，)于是(，1，)，(，2,0)因为(，1，)(，2,0)0，所以，所以BPBC.所以PBC为直角三角形(2)解：由(1)可得，A(0，2,0)于是(0,1，)，(，1，)，(0,3，)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，则z，x.所以平面PBC的一个法向量为n(，1，)设直线AP与平面PBC所成的角为，则sin |cos，n|.所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.