2022年高考数学专题复习 第27讲 平面向量应用举例练习 新人教A版

2022年高考数学专题复习 第27讲 平面向量应用举例练习 新人教A版考情展望1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的工具性一、向量在平面几何中的应用1平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题2用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线、相似等问题共线向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)二、向量在物理中的应用1向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用2向量在速度的分解与合成中的应用3向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wfs.1已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1(2,2)，f2(2,3)，则|f3|为()A2.5B4C2D5【解析】 由题意知f1f2f30，f3(f1f2)(0，5)，|f3|5.【答案】D2已知O是ABC所在平面上一点，若，则O是ABC的()A内心 B重心 C外心 D垂心【解析】 ()0，0OBAC.同理：OABC，OCAB，O是ABC的垂心【答案】D3若20，则ABC为()A钝角三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形【解析】 20可化为()0，即0，所以.所以ABC为直角三角形【答案】D4已知两个力F1、F2的夹角为90，它们的合力F的大小为10 N，合力与F1的夹角为60，那么F1的大小为_【解析】 如图所示|F1|F|cos 60105(N)【答案】5 N5(xx湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B. C2 D.【解析】 1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，|AC|2|AB|2|BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|222.|BC|.【答案】A6(xx福建高考)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10【解析】 (1,2)(4,2)440，S四边形ABCD|25.【答案】C考向一 080向量在平面几何中的应用(1)(xx长沙模拟)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形(2)(xx济南模拟)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角形面积C以a，b为两边的三角形面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积(3)已知ABC的三边长AC3，BC4，AB5，P为AB边上任意一点，则()的最大值为_【思路点拨】(1)是单位向量，结合平行四边形法则及0分析AB与AC的关系，借助数量积的定义求CBA，进而得出ABC的形状(2)借助数量积的定义及三角函数诱导公式求解(3)可采用坐标法和基向量法分别求解本题【尝试解答】(1)因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又，所以cosBAC，即BAC，所以ABC为等边三角形(2)依题意可得|bc|b|c|cosb，c|b|c|sina，bS平行四边形|bc|的值一定等于以b，c为邻边的平行四边形的面积(3)法一(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图，设P点坐标为(x，y)且0y3,0x4，则()(x，y)(0,3)3y，当y3时，取得最大值9.法二(基向量法)，()()299|cosBAC93|cosBAC，cosBAC为正且为定值，当|最小即|0时，()取得最大值9.【答案】(1)A(2)D(3)9规律方法11.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值.2.平面几何问题的向量解法(1)坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.对点训练(1)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)(2)(xx课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.【解析】 (1)|，即点O到A，B，C三点的距离相等，点O为ABC的外心如图，设D为BC边的中心，则2，0，20，2，A，D，N三点共线，点N在BC边的中线上同理，点N也在AB，AC边的中线上，点N是ABC的重心，0，()0，0，.同理，点P是ABC的垂心(2)如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，(1,2)，(2,2)，1(2)222.【答案】(1)C(2)2考向二 081向量在物理中的应用(1)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2B2C2D6图441(2)如图441所示，已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数0.02的水平平面上运动了20 m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？【思路点拨】(1)利用F1F2F30，结合向量模的求法求解(2)力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F，f和位移的夹角【尝试解答】(1)如图所示，由已知得F1F2F30，F3(F1F2)FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.|F3|2.【答案】A(2)设木块的位移为s，则Fs|F|s|cos 305020500 J，F在竖直方向上的分力大小为|F|sin 305025(N)，所以摩擦力f的大小为|f|(8025)0.021.1(N)，所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22 J.F，f所做的功分别是500 J，22 J规律方法21.物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型.2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比.3.用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题.考向三 082向量在三角函数中的应用(xx辽宁高考)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【思路点拨】分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解【尝试解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.规律方法3平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解.对点训练已知O为坐标原点，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，点P满足.(1)记函数f()，求函数f()的最小正周期；(2)若O、P、C三点共线，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，设(x，y)，则(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P、C三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )，得tan ，sin 2，|.规范解答之七平面向量与三角函数的交汇问题求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步：将向量间的关系式化成三角函数式；第二步：化简三角函数式；第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；第四步：明确表述结论1个示范例1个规范练(12分)(xx江苏高考)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值【规范解答】(1)证明由题意得|ab|22，2分即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.5分(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以7分由此得，cos cos()，由0，得0.9分又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，11分而，所以，.12分 【名师寄语】(1)熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提.(2)解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式.在此基础上运用三角函数的知识求解.(xx烟台模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|ab|.(1)求cos()的值；(2)若0，0，且sin .求sin .【解】(1)|ab|，|ab|2，a22abb2，22(cos cos sin sin )，22cos()，即cos().(2)sin sin()sin()cos cos()sin ，又0，0，则0，sin()，cos ，sin .