2022年高考数学二轮复习 专题十 数学思想方法 第一讲 函数与方程思想、数形结合思想素能提升练 理

2022年高考数学二轮复习 专题十 数学思想方法 第一讲 函数与方程思想、数形结合思想素能提升练 理1.已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()A.3B.4C.5D.6解析:由于3,4,5构成直角三角形,故其内切圆半径为r=1.当该圆运动时,最多与直角三角形的两边有4个交点.答案:B2.(xx山西忻州高三联考,6)不等式组表示的平面区域为,直线y=kx-1与区域有公共点,则实数k的取值范围为()A.(0,3B.-1,1C.(-,3D.3,+)解析:直线y=kx-1显然经过定点M(0,-1),由图形直接观察知,当直线y=kx-1经过直线y=x+1和直线x+y=3的交点C(1,2)时,k最小,此时kCM=3,因此k3,即k3,+).答案:D3.若a0,b0,且a+b=2,则ab+的最小值为()A.2B.3C.4D.2解析:2=a+b2,1.ab(0,1.函数f(x)=x+在x(0,1上单调递减,ab+的最小值为f(1)=2.答案:A4.设平面点集A=,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)21,则AB所表示的平面图形的面积为()A.B.C.D.解析:不等式(y-x)0可化为集合B表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,AB所表示的平面区域如图所示.由于曲线y=,圆(x-1)2+(y-1)2=1均关于直线y=x对称,所以阴影部分占圆面积的一半.故选D.答案:D5.若方程x+k=有且只有一个解,则k的取值范围是()A.-1,1)B.k=C.-1,1D.k=或k-1,1)解析:令y=x+k ,y=,则x2+y2=1(y0).作出图象如下:而y=x+k中,k是直线的纵截距,由图知:方程有一个解直线与上述半圆只有一个公共点k=或-1k0)的零点分别为x1,x2(x10)的零点分别为x3,x4(x33时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.(1)解:由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,于是f1(x)=x2.设f2(x)=(k0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(),B(-,-),由|AB|=8,得k=8,于是f2(x)=.故f(x)=x2+.(2)证法一:由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即=-x2+a2+.在同一平面直角坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是以为顶点,开口向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又f2(2)=4,f3(2)=a2+-4,当a3时,f3(2)-f2(2)=a2+-80,当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2)在f2(x)图象的上方.故f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,在a3时,方程f(x)=f(a)有三个实数解.证法二:由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x-a)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a3,=a4+32a0,得x=,因此x2=,x3=,a3,x1x2.若x1=x3,则3a2=,a4=4a,得a=0或a=,这与a3矛盾,x1x3.故原方程有三个实数解.10.(xx河北唐山一模,21)已知函数f(x)=.(1)证明:00时,f(x),求a的取值范围.(1)证明:设g(x)=xex+1,则g(x)=(x+1)ex.当x(-,-1)时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)g(-1)=1-e-10.又ex0,故f(x)0.f(x)=,当x(-,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)f(0)=1.综上,有00时,f(x)1=,不等式不成立.若a0,则当0x1,不等式不成立.若a0,则f(x)等价于(ax2-x+1)ex-10.(*)设h(x)=(ax2-x+1)ex-1,则h(x)=x(ax+2a-1)ex.若a,则当x(0,+)时,h(x)0,h(x)单调递增,h(x)h(0)=0.若0a,则当x时,h(x)0,h(x)单调递减,h(x)0,不等式(*)成立,当且仅当a.综上,a的取值范围是.11.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60 km/h.研究表明当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)解:(1)由题意知当0x20时,v(x)=60;当20x200时,设v(x)=ax+b(a0),(*)由题意知,当x=20时,v(x)=60;当x=200时,v(x)=0,代入(*)式,可得a=-,b=,所以v(x)=,故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0x20时,f(x)为增函数,故0f(x)1 200.当20x200时,f(x)=x(200-x),当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间20,200上取得最大值.综上,当x=100时,车流量f(x)可以达到最大,最大值约为3 333辆/时.