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第五节离散型随机变量及其分布列最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用1离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，ai，ar，随机变量X取ai的概率为pi(i1,2，r)，记作：P(Xai)pi(i1,2，r)，或把上式列表：Xaia1a2aiarP(Xai)p1p2pipr称为离散型随机变量X的分布列(4)性质：pi0，i1,2，r；p1p2pr1.2超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)(其中k为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布()X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为()ABCDC由分布列的性质知，p1，p1.2从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则P(1)等于()AB CDDP(1)1P(2)1.3有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_0,1,2,3因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.4从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为_ X012P0.10.60.3因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3，所以X的分布列为X012P0.10.60.3考点1离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的2个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率1.随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是_因为a，b，c成等差数列，所以2bac.又abc1，所以b，所以P(|X|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，所以d.2设随机变量X的分布列为Pak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P；(3)求P.解(1)由分布列的性质，得PPPPP(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)PPPP(X1)345.(3)PPPP.由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验教师备选例题设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y2X1的分布列；(2)求随机变量|X1|的分布列；(3)求随机变量X2的分布列解(1)由分布列的性质知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为：X012342X113579从而Y2X1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X1|10123P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.30.3考点2求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”教师备选例题一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列解(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P11.(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P袋子中有1个白球和2个红球(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列解(1)X可能取值1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X分布列为X123P(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(Xk)k1，k1,2,3,4，P(X5)4.故X分布列为X12345P(3)因为XB，所以X的分布列为P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.X012345P5考点3超几何分布求超几何分布的分布列的步骤 端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X123P母题探究1在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率解由题意知，至少有一个豆沙粽的概率PP(X1)P(X1)P(X2).2若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列解由题意知X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X3)，P(X2)1P(X1)P(X3)1.综上可知，X的分布列为X123P 超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型教师备选例题(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率【解】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)则P(X0)，P(X1)，P(X3)，则P(X2)1，所以，随机变量X的分布列为X0123P设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(Xk)，k0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X0123P(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3，而P(A1)，P(A2)P(X2)，P(A3)P(X3).取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)P(A1)P(A2)P(A3).9
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