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第三节三角函数的图像与性质最新考纲1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图像的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图像的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RR值域1,11,1R单调性递增区间：，kZ，递减区间：，kZ递增区间：2k，2k，kZ，递减区间：2k，2k，kZ递增区间，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心，kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)周期性221正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期2正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期3对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin x的图像关于点(k，0)(kZ)中心对称()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin |x|与y|sin x|都是周期函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.D由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.2函数f(x)cos的最小正周期是_T.3ysin的单调减区间是_(kZ)由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.4y3sin在区间上的值域是_当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.考点1三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数求解1.函数f(x)2tan的定义域是()A.B.C.D.D由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故选D.2(2019全国卷)函数f(x)sin3cos x的最小值为_4f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令cos xt，则t1,1f(t)2t23t122，易知当t1时，f(t)min2123114.故f(x)的最小值为4.3已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_x，x，当x时，f(x)的值域为，由函数的图像(图略)知a，a.4函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如yasin3xbsin2xcsin xd，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值考点2三角函数的单调性(1)形如yAsin(x)的函数的单调性问题，一般是将x看成一个整体，再结合图像利用ysin x的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性求三角函数的单调性(1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)(2019大连模拟)函数ysin xcos x的单调递增区间是_(1)B(2)(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ)，故选B.(2)ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函数的单调递增区间为(kZ)，又x，单调递增区间为.本例(2) 在整体求得函数ysin xcos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x上的区间根据函数的单调性求参数(1)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A.(0,2B.C. D.(2)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在0，a 是减函数，则a的最大值是()A.B. C.D.(1)D(2)C(1)由2kx2k，得x，kZ，因为f(x)sin在上单调递减，所以解得因为kZ，0，所以k0，所以，即的取值范围为.故选D.(2)f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，sin单调递增，sin 单调递减，是f(x)在原点附近的单调递减区间，结合条件得0，a，a，即amax，故选C.已知单调区间求参数范围的3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解1.若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.由已知得，T，.2函数f(x)sin的单调减区间为_(kZ)由已知，得函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间即可由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调减区间为(kZ)考点3三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数ysin(x)(0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据ysin x的对应性质，利用整体代换的思想求解三角函数的周期性(1)(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|(2)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_(1)A(2)2或3(1)对于选项A，作出y|cos 2x|的部分图像，如图1所示，则f(x)在上单调递增，且最小正周期T，故A正确对于选项B，作出f(x)|sin 2x|的部分图像，如图2所示，则f(x)在上单调递减，且最小正周期T，故B不正确对于选项C，f(x)cos|x|cos x，最小正周期T2，故C不正确对于选项D，作出f(x)sin|x|的部分图像，如图3所示显然f(x)不是周期函数，故D不正确故选A. 图1图2 图3(2)由题意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”(1)公式法求周期正弦型函数f(x)Asin(x)B的周期T；余弦型函数f(x)Acos(x)B的周期T；正切型函数f(x)Atan(x)B的周期T.(2)对称性求周期两对称轴距离的最小值等于；两对称中心距离的最小值等于；对称中心到对称轴距离的最小值等于.(3)特征点法求周期两个最大值点之差的最小值等于T；两个最小值点之差的最小值等于T；最大值点与最小值点之差的最小值等于.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应(说明：此处的T均为最小正周期)三角函数的奇偶性已知函数f(x)3sin，(0，)(1)若f(x)为偶函数，则_；(2)若f(x)为奇函数，则_.(1)(2)(1)因为f(x)3sin为偶函数，所以k，kZ，又因为(0，)，所以.(2)因为f(x)3sin为奇函数，所以k，kZ，又(0，)，所以.若f(x)Asin(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)三角函数的对称性(1)已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图像()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称(2)已知函数ysin(2x)的图像关于直线x对称，则的值为_(1)B(2)(1)因为函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的对称轴为x2k(kZ)，令k(kZ)，解得x2k(kZ)故f(x)的对称中心为(kZ)，对比选项可知B正确(2)由题意得fsin1，k(kZ)，k(kZ)，.三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法若求f(x)Asin(x)(0)图像的对称轴，则只需令xk(kZ)，求x；若求f(x)Asin(x)(0)图像的对称中心的横坐标，则只需令xk(kZ)，求x.1.设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图像关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在上单调递减DA项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确；B项，因为f(x)cos图像的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图像关于直线x对称，B项正确；C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确；D项，因为f(x)cos的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误2(2019成都模拟)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且任意xR，有f(x)f成立，则f(x)图像的一个对称中心坐标是()A. B.C. D.A由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)图像的对称中心为(kZ)，当k0时，f(x)图像的对称中心为.11
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