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第1章 集合与常用逻辑用语全国卷五年考情图解高考命题规律把握说明：“1”指全国卷第1题，“1”指全国卷第1题，“1”指全国卷第1题.1.考查形式本章在高考中一般考查1或2个小题，主要以选择题为主，很少以填空题的形式出现.2.考查内容从考查内容来看，集合主要考查集合的运算，包含集合的交、并、补集运算；常用逻辑用语主要考查充分必要条件的判断、逻辑联结词“且”“或”“非”以及全称量词与存在量词.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律集合的交、并、补集运算问题；充分条件、必要条件的判断问题；含有“且”“或”“非”的命题的真假性的判断问题；含有一个量词的命题的否定问题.(2)重视数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.第一节集合最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算(对应学生用书第1页)1集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素xAxBAB或BA真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AAB，存在x0B，x0AAB或BA基本关系相等集合A，B的元素完全相同AB，BAABAB空集不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集任意x，x，A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合x|xA且xBAB并集属于A或属于B的元素组成的集合x|xA或xBAB补集全集U中不属于A的元素组成的集合x|xU，xAUA1集合子集的个数对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n1，非空真子集个数为2n2.2集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.(3)补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A；U(AB)(UA)(UB)；U(AB)(UA)(UB)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个集合都至少有两个子集()(2)x|yx2y|yx2(x，y)|yx2()(3)若x2,10,1，则x0,1.()(4)直线yx3与y2x6的交点组成的集合是1,4()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若集合AxN|x2，a，则下列结论正确的是()AaABaACaA DaAD由题意知A0,1,2，由a，知aA.2已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，则集合MN的子集的个数为_64M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN0,1,2,3,4,5，MN的子集有2664个3已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则U(AB)_.答案x|x是直角4方程组的解集为_由得故方程组的解集为.5已知集合Ax|2x3，集合Bx|x10，则AB_，AB_.(2,1)(，3)Ax|2x3，Bx|x10x|x1，ABx|2x1，ABx|x3(对应学生用书第2页)考点1集合的概念与集合中的元素有关的问题的求解思路(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集(2)看清元素的限制条件(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数1.已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9B8C5D4A由x2y23知，x，y.又xZ，yZ，所以x1,0,1，y1,0,1，所以A中元素的个数为9，故选A.2已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_由题意得m23或2m2m3，则m1或m.当m1时，m23且2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m时，m2，2m2m3，符合题意，故m.3若集合AxR|ax23x20中只有一个元素，则a_.0或当a0时，显然成立；当a0时，(3)28a0，即a.4已知a，bR，若a2，ab,0，则a2 020b2 020_.1由已知得a0，则0，所以b0，于是a21，即a1或a1，又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去，因此a1，故a2 020b2 020(1)2 02002 0201.(1)求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.(2)常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.考点2集合的基本关系判断两集合关系的方法(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系(1)(2019唐山模拟)设集合Mx|x2x0，N，则()AMNBNMCMNDMNR(2)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1B2 C3D4(3)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_(1)C(2)D(3)(，3(1)集合Mx|x2x0x|x1或x0，Nx|x1或x0，所以MN.故答案为C.(2)因为A1,2，B1,2,3,4，ACB，则集合C可以为：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，共4个(3)因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数m的取值范围为(，3母题探究1(变问法)本例(3)中，若BA，求m的取值范围解因为BA，若B，成立，此时m2.若B，则且边界点不能同时取得，解得2m3.综合，m的取值范围为(，32(变问法)本例(3)中，若AB，求m的取值范围解若AB，则即所以m的取值范围为.3(变条件)若将本例(3)中的集合A改为Ax|x2或x5，试求m的取值范围解因为BA，所以当B时，2m1m1，即m2，符合题意当B时，或解得或即m4.综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，)(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有BA时，应分B和B两种情况讨论1.设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个B5个C4个D3个A由题意知，M1，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3，共6个2若集合A1,2，Bx|x2mx10，xR，且BA，则实数m的取值范围为_2,2)若B，则m240，解得2m2，符合题意；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2,2)考点3集合的基本运算集合运算三步骤集合的运算(1)(2019全国卷)已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则BUA()A1,6B1,7C6,7D1,6,7(2)(2019全国卷)已知集合Ax|x1，Bx|x2，则AB()A(1，) B(，2)C(1,2)D(3)(2019全国卷)已知集合A1,0,1,2，Bx|x21，则AB()A1,0,1B0,1C1,1D0,1,2(1)C(2)C(3)A(1)由题意知UA1,6,7，又B2,3,6,7，BUA6,7，故选C.(2)Ax|x1，Bx|x2，ABx|1x2，即AB(1,2)故选C.(3)由题意可知Bx|1x1，又A1,0,1,2，AB1,0,1，故选A.逆向问题已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3B3,7,9C3,5,9D3,9D法一：(直接法)因为AB3，所以3A，又(UB)A9，所以9A.若5A，则5B(否则5AB)，从而5UB，则(UB)A5,9，与题中条件矛盾，故5A.同理，1A,7A，故A3,9法二：(Venn图)如图所示集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况利用集合的运算求参数(1)已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m等于()A0或B0或3C1或D1或3(2)已知集合Mx|1x2，Ny|ya，若MN，则实数a的取值范围是()A1,2)B(，2C1，)D(1，)(1)B(2)D(1)由ABA，得BA，所以mA.因为A1,3，所以m或m3，即m3或m1或m0.由集合中元素的互异性知m1，故选B.(2)Mx|1x2，Ny|ya，且MN，结合数轴可得a1.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性)教师备选例题1已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77B49C45D30C如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故AB中元素的个数为45.故选C.2设集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0，若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A. B.C.D(1，)BAx|x22x30x|x1或x3，设函数f(x)x22ax1，因为函数f(x)x22ax1图像的对称轴为直线xa(a0)，f(0)10，根据对称性可知若AB中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即a.故选B.1.(2019许昌、洛阳三模)已知集合Ax|y，B(0,1)，则AB()A(0,1)B(0,1C(1,1)D1,1A由题意得A1,1，又B(0,1)，AB(0,1)故选A.2(2019合肥巢湖一模)已知集合Ax|x3，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围为()A3，)B(3，)C(，3)D(，3C因为AB，所以结合数轴(图略)可知实数a的取值范围是a3，故选C.3如图，设全集UN，集合A1,3,5,7,8，B1,2,3,4,5，则图中阴影部分表示的集合为()A2,4B7,8C1,3,5D1,2,3,4,5A由题图可知阴影部分表示的集合为(UA)B，因为集合A1,3,5,7,8，B1,2,3,4,5，UN，所以(UA)B2,4故选A.4已知A1,2,3,4，Ba1,2a若AB4，则a_.3因为AB4，所以a14或2a4.若a14，则a3，此时B4,6，符合题意；若2a4，则a2，此时B3,4，不符合题意综上，a3.- 10 -
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