2022年高考数学第二轮复习 不等式教学案

2022年高考数学第二轮复习 不等式教学案考纲指要：利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主.考点扫描：1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2基本不等式：（a,b0）探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。3常用的证明不等式的方法:（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法。4不等式及它的解法：（1）一元一次不等式； （2）一元二次不等式； （3）分式不等式；（4）简单的绝对值不等式； （5）指数不等式；（6）对数不等式；（7）二元一次不等式（线性规划）。考题先知：例1 设函数，其中。（1）解不等式； （2）当时，求函数的最小值。分析：（1）所解不等式即为，从知，实施等价变形后对a分类讨论可得解；（2）求函数的最小值，可从单调性入手，因此，细化函数表达（即去绝对值符号）成为解决问题的第一步。解：（1）由得，原不等式可化为，当时，有，而，故；当时，有；当时，有，而，故；综上所述，当时，解集为；当时，解集为。（2）由得当时，在为增函数，在为减函数，所以；当时，所以，综上所述，。点评：本题第（1）题也可作出函数与的图象，利用数形结合的数学思想求之。例2已知：且，求证：。分析：观察条件不等式的特征，存在不少证法，若从消元角度入手，可构造一元二次方程，用判别式法证之；若从基本不等式出发，可用放缩法证之；若着眼，则可用均值换元法证之；若无从下手，则可用分析法或反证法证之；若从不等式的几何意义出发，又可用几何法证之。证一（判别式法）：记，则由代入得：，整理得，得，即。证二（比较法）：，得证。证三（放缩法）：，得证。证四（换元法）：设,则，得证。证五（分析法）：欲证，仅需证，即证，显然成立，因上述过程可逆，故原不等式成立。证六（反证法）：假设，则，即，矛盾，故假设不成立，从而。证七（几何法）：因为直线上的点到点的最小距离等于，所以。 点评：在高考中，不等式的证明常作为某一综合题的其中一步，放缩与换元是两种重要的方法，应值得注意。复习智略：例3求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值。分析：本题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来。解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2，当且仅当x=y时，中有等号成立。比较、得a的最小值满足a21=1，a2=2，a= (因a0)，a的最小值是。解法二：设 x0，y0，x+y2 (当x=y时“=”成立)，1，的最大值是1。从而可知，u的最大值为，又由已知，得au，a的最小值为，解法三：y0，原不等式可化为+1a，设=tan，(0，)。tan+1a，即tan+1asecasin+cos=sin(+)，又sin(+)的最大值为1(此时=)，由式可知a的最小值为。点评：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cos、sin来对应进行换元，即令=cos，=sin(0，这样也得asin+cos，但是这种换元是错误的 其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y1”这样一个条件，显然这是不对的。除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则amin=f(x)max 若 af(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。检测评估：1、设关于的不等式和的解集分别是、。下列说法中不正确的是（ ）（A）不存在一个常数使得、同时为.（B）至少存在一个常数使得、都是仅含有一个元素的集合.（C）当、都是仅含有一个元素的集合时，总有.（D）当、都是仅含有一个元素的集合时，总有.2若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD3.已知x、y满足约束条件则（x+3）2+y2的最小值为 A. B.2 C.8 D.104已知两个正数满足，则取最小值时的值分别为（ ）A B C D 5设定义域为的函数满足以下条件：对任意；对任意当时，有，则以下不等式不一定成立的是（ ） A、 B、 C、 D、6已知时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 7取得，原不等式化为，从而，得。8设函数f(x)=，已知f(a)1，则a的取值范围是 9 系数方程的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_ 10设，则的最小值是 。11 已知 ; （1）.当时，求的最小值；（2）.若不等式，对恒成立，求的取值范围。12对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少；()若采用方案乙，当为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。点拨与全解：1由得时，集合A仅含有一个元素；由得或6，集合B仅含有一个元素。说法中不正确的是C。2解：记，则由条件得，解之得，故选B。3.作出如图所示的可行区域，知（x+3）2+y2的最小值为|AC|2=10.故选D。4由得，所以当，即时，取最小值25，故选B。5解：因，且，而在区间的单调性无法确定，所以无法判断，故选C。6解：原不等式可化为，当时，不等式显然成立；当时，而函数在上单调递减，故，所以。7.f(x)是定义在(0，+)上的增函数，对正实数x,y都有：f(xy)=f(x)+f(y)成立，则不等式f(log2x)0的解集为_8解析 由f(x)及f(a)1可得 或 或 解得a2，解得a1，解得x a的取值范围是(，2)(，1)9解：由条件得：，作出以为坐标的线性区域，而表示在可行区域内的动点与定点之间的斜率，从而可得其范围是。10解：显然取此时，所以当时，有最小值。解：（1）. 当时， ,当，即时，; （2）.由，得，设则，即或，或。由于，故显然不成立，于是问题转化为：若对恒成立，确定的取值范围。设，则,当时，为减函数；当时，为增函数，当时，为极小值，这样，对有,或，或12解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19。由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程：解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。 因为当,故方案乙的用水量较少。（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*），于是+， 当为定值时,，当且仅当时等号成立。此时 将代入（*）式得故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为：, 最少总用水量是.当，故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明，随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。