八年级数学下册 第十六章 二次根式试题 （新版）新人教版

八年级数学下册 第十六章 二次根式试题 （新版）新人教版 1.二次根式的相关概念 (1)正确理解二次根式的概念要把握以下几点: 二次根式是从形式上定义的,必须含有二次根号; 在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,都必须满足被开方数(式)是非负数; 根指数是2; 形如b(a0)的式子也是二次根式.【例1】要使二次根式有意义,x必须满足()A.x2B.x2C.x2【标准解答】选B.根据题意,得x-20,解得x2.(2)正确理解最简二次根式:被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式;被开方数中每个因数或因式的指数都是1.【例2】下列二次根式中的最简二次根式是()A.B.C.D.【标准解答】选A.=2,=2,=,而是最简二次根式.1.要使代数式有意义,则x的()A.最大值是B.最小值是C.最大值是D.最小值是2.下列属于最简二次根式的是()A.B.C.D. 2.非负数性质的应用 在实数范围内,正数和零统称非负数.我们已学过的非负数有如下形式: (1)任何一个数a的绝对值是非负数,即|a|0. (2)任何一个数a的平方是非负数,即a20. (3)任何非负数的算术平方根是非负数,即0(a0). 即若a为实数,则a2,|a|,(a0)均为非负数. 非负数具有以下性质: (1)非负数的最小值为零. (2)有限个非负数的和仍是非负数. (3)若几个非负数的和等于零,则每个非负数都等于零.【例】若x,y为实数,且|x+2|+=0,则(x+y)2 016的值为.【标准解答】根据绝对值和算术平方根的意义可知,|x+2|0,0,又因为|x+2|+=0,因此|x+2|=0,=0,x+2=0,y-3=0,x=-2,y=3,(x+y)2 016=1.答案:11.已知实数x,y满足-1+|y+3|=0,则x+y的值为()A.-2B.2C.4D.-42.若+(y+2)2=0,则(x+y)2 014等于()A.-1B.1C.32 014D.-32 0143.化简二次根式的技巧 (1)被开方数是带分数 先把带分数化成假分数,再把分子、分母乘以适当的数,把分母变成平方数,应用商的算术平方根的性质把分母中的数开出来.【例1】化简:.【标准解答】原式=. (2)被开方数为单项式 先把单项式写成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.【例2】化简:.【标准解答】=2ab2. (3)被开方数为多项式 先把多项式分解因式成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.【例3】化简:.【标准解答】原式=2x2y.(4)被开方数是分式 把分式的分母和分子乘以适当的数或字母,把分母变成平方数(式),应用商的算术平方根的性质把分母中的数或字母开出来.【例4】化简:.【标准解答】原式=.1.化简的结果是()A.4 B.2 C.3 D.22.化简:=.3.若=3-x,则x的取值范围是. 4.二次根式的有关运算 (1)二次根式的乘除运算有两种策略:一是先把它们都化成最简二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法则化简.要根据题目的特点灵活选择,单纯的乘除混合运算,一般采用第二种方法.【例1】计算的结果是()A. B.4 C. D.2【标准解答】选B.=4. (2)二次根式的加减运算,可以简记为“一化,二找,三合并”,即把二次根式化成最简二次根式;找出被开方数相同的根式;合并被开方数相同的二次根式.(被开方数不同的不能合并)【例2】计算-3= .【标准解答】原式=2-3=2-=.答案: (3)二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式(或公式的逆用),简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次根式同样适用.【例3】计算:=.【标准解答】原式=-=9-1=8.答案:81.计算:-2等于.2.计算的结果是.3.计算:(+)2-=.5.数学思想在解答二次根式题目中的应用 (1)转化思想 转化思想是将不易解决的问题变成我们容易解决的问题,从而达到将抽象转化为具体,复杂转化为简单的一种数学思想.如例1中,将复杂的形式转化成积的乘方的形式,再利用平方差公式知识求解.【例1】计算(1+)2 012(1-)2 013.【标准解答】原式=(1+)2 012(1-)2 012(1-)=(1-)=(-1)2 012(1-)=1-. (2)分类讨论思想 有的数学问题可能有几种情况,在未具体指明哪种情况时,需要对各种情况进行讨论,确保“不重不漏”.【例2】已知|a|=2,=4,且ab0,则a+b的值为.【标准解答】|a|=2,则a=2, =4,则|b|=4,b=4.又ab0,则当a=2时,b=-4.当a=-2时,b=4.于是a+b=-2或2. (3)整体思想 整体思想就是化零为整,化分散为集中的一种思想方法.有的题目直接代入计算比较繁琐,且比较容易出错.仔细观察所求的代数式发现可以变形,整体代入计算可起到化繁为简的目的.【例3】当x=-,y=+时,求x2+xy+y2的值.【标准解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy,又x+y=2,xy=-1.于是x2+xy+y2=(2)2-(-1)=9. (4)数形结合思想 我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.” 本例利用数形结合思想,通过观察和分析可从数轴上获取一些信息,然后结合二次根式的性质解决问题.【例4】实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简 -.【标准解答】通过观察数轴可以看到a0.于是a-b0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.1.实数a在数轴上的位置如图所示,则+ 化简后为()A.7B.-7C.2a-15D.无法确定2.已知x=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x+2y的值.答案解析：1.二次根式的相关概念【跟踪训练】1.【解析】选A.由二次根式有意义的条件得2-3x0,x,故选A.2.【解析】选A.因为B.,被开方数中含有分母,C.=,D.=3.2.非负数性质的应用【跟踪训练】1.【解析】选A.+|y+3|=0,x-1=0,y+3=0;x=1,y=-3,原式=1+(-3)=-2.2.【解析】选B.+(y+2)2=0,解得(x+y)2 014=(1-2)2 014=1.3.化简二次根式的技巧【跟踪训练】1.【解析】选B.=2.2.【解析】=2.答案:2 3.【解析】0,3-x0,即x3.答案:x34.二次根式的有关运算【跟踪训练】1.【解析】原式=3-2=3-=2.答案:22.【解析】原式=5.答案:53.【解析】(+)2-=5+2-2=5.答案:55.数学思想在解答二次根式题目中的应用【跟踪训练】1.【解析】选A.由数轴可知5a10,+=a-4+11-a=7.2.【解析】x=1-,y=1+,x-y=(1-)-(1+)=-2,xy=(1-)(1+)=-1.x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2)2-2(-2)+(-1)=7+4.