2022年高考数学复习 参数取值问题的题型与方法教案 苏教版

2022年高考数学复习 参数取值问题的题型与方法教案 苏教版（）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或，解得a8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在1，1内单调递减。只需f(1)0,即a2.(下同)例2已知函数f(x)在定义域（，1上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinxk2sin2x1对于任意xR恒成立，这又等价于对于任意xR恒成立。不等式（1）对任意xR恒成立的充要条件是k2(1+sin2x)min=1,即1k1-(3)不等式（2）对任意xR恒成立的充要条件是k2k+(sinx)2max=,即k1或k2,-(4)由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例3设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1 x42，则的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D)图1图2分析: 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动,本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以由于在四个选择支中只有C含有，故选Cxyo12y1=(x-1)2y2=logax当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示） 说明 由本题可见, 探索猜想在数学学习中的地位这也是选择题的应有特点例5当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21,a1,10，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.例8.设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)当=4（a1)(a+2)0时，即2a0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即解得a8.解法2（利用根与系数的分布知识）：4oxy即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）216=0,a=0或a=8.a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=20,符合题意。a=8.20. 0,即a0时，f(0)=40,故只需对称轴，即a4.a0,y0,x,yZ）。计年利润为s，那么s3x+6y-2.4x-4y，即s0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线0.6x+2xs0截距的最大值。过点A作0.6x+2y=0的平行线即可求出s的最大值。联立得A（18,12）。将x18，y12代入s0.6x+2y求得Smax34.8。设经过n年可收回投资，则11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n33.5。学校规模初中18个班级，高中12个班级，第一年初中招生6个班300人，高中招生4个班160人。从第三年开始年利润34.8万元，大约经过36年可以收回全部投资。说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。（）、强化训练1（南京市质量检测试题） 若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”依此规定， 能说明，“线性相关”的实数依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况） 2已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。3设函数f(x)=2x-12-x-1,xR,若当0时，f(cos2+2msin)+f(2m2)0恒成立，求实数m的取值范围。4已知关于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。5试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本3020300劳动力 （工资）510110单位利润68 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？8发电厂主控室的表盘，高m米，表盘底边距地面n米。问值班人员坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2米）9. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？（）、参考答案1分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了个平面向量线性相关在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）2分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.3分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断f(x)的奇偶性和单调性，不难证明，在R上f(x)是奇函数和增函数，由此解出cos2+2msin0,t0,1-(*)恒成立时，求实数m的取值范围。接下来，设g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴t=m与区间0，1的位置关系，分类使g(t)min0,综合求得m.本题也可以用函数思想处理，将（*）化为2m(1t)(t2+1),t0,1当t=1时，mR;当0th(t)=2(1t)+,由函数F（u)=u+在（1，1上是减函数，易知当t=0时，h(x)max=1, m,综合（1）、（2）知m。说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。4分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而得x2+20x=8x6a30,注意到若将等号两边看成是二次函数xyl1l2l-20oy= x2+20x及一次函数y=8x6a3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（20，0）此时纵截距为6a3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为6a3=0，a=a的范围为，）。5解：（1）当时，方程化为，表示轴。 （2）当时，方程化为，表示轴 （3）当时，方程为标准形式： 当时，方程化为表示以原点为圆心，为半径的圆。 当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为 当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为 当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为 当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为 6解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P6x+8y 由题意：30x+20y 300 5x+10y110 x0，y0 x、y均为整数 画图知直线 y3/4x1/8P 过M（4,9）时，纵截距最大，这时P也取最大值Pmax648996（百元）故：当月供应量为：空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元。7解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）则目标函数为S0.5x+0.4y 且x，y满足 ： 6x+3y8 4x+7y10 x0 ，y0画图可知，直线 y5/4x+5/2S过A（13/15,14/15）时，纵截距5/2S最小，即S最小。故每盒盒饭为13/15百克，米食14/15百克时既科学又费用最少。8解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 （米）。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人员的座位，才能避免盲目性。9.解：假设围栏的边长为x米和玉米，于是由题设可知x0，y0，且xy144 （1）2x+y50 （2）双曲线xy144在第一象线内的一支与直线2xy50的交点是A（），B（），满足条件（1）、（2）的解集是在双曲线xy144（），这一段上的点集（即如图中双曲线A、B之间的一段），当过双曲线A、B之间上的任一点作一点作直线2xyk（k0）就是相应需用铁丝网的长度，直线2x+y=k（k0）与双曲线xy144相切。这时，相应的k值最小，消去y得x的二次方程： ，从0得， 即k24（米）所需用铁丝网的最短长度为24米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点A的纵坐标给出，即米，利用墙的最短长度由B纵坐标给出，即米。