2022年高考数学第二轮复习 解析几何教学案

2022年高考数学第二轮复习 解析几何教学案第1课时 直线与圆考纲指要：直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。考点扫描：1直线方程：(1)倾斜角；(2) 斜率；（3）直线方程的五种形式。2圆的方程：（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程。3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 4. 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。考题先知：例1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 (90180)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(ab) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？分析 欲使看画的效果最佳，应使ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使ACB取得最大值 由三角函数的定义知 A、B两点坐标分别为(acos,asin)、(bcos,bsin),于是直线AC、BC的斜率分别为 kAC=tanXCA=,于是tanACB=由于ACB为锐角，且x0,则tanACB,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳 点评：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来 例2设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 分析： 将动点的坐标x、y用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x、y的关系 解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直线AB的方程为x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法二 设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得AB的方程为，过定点，由OMAB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 解法三 设M(x,y) (x0)，OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA为直径的圆 上，又在以OB为直径的圆 上（O点除外），+得 x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点 点评：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 当设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论 复习智略：例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p0) 一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x4y17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示) (1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明 y1y2=p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由 分析：本题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度 解： (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x) 由式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韦达定理，y1y2=p2 当直线PQ的斜率角为90时，将x=代入抛物线方程，得y=p,同样得到y1y2=p2 (2)解 因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M(x,y)，则解得直线QN的方程为y=1,Q点的纵坐标y2=1，由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知 y1y2=p2,则4(1)=p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x (3)解 将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)将y=1代入直线l的方程为2x4y17=0,得x=,故N点坐标为(，1)由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y12=0,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)又M1(,1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，1)与点M关于直线PN对称 。点评：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键。 检测评估：1. 若直线按向量平移后与圆相切，则的值为( ) A或B或C或D或2.如右图,定圆半径为，圆心为 (), 则直线与直线的交点在 ( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限3.在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A95 B91 C88 D754. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D5. 直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为（ ）A B C D6.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 .7过点交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为 . 8 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_9、在等差数列中，为首项，是其前项的和，将整理为后可知：点（是正整数）都在直线上，类似地，若是首项为，公比为的等比数列，则点（是正整数）在直线_上10. 实数满足，且，那么的最小值为 ; 11 设数列an的前n项和Sn=na+n(n1)b，(n=1,2,),a、b是常数且b0 (1)证明 an是等差数列 (2)证明 以(an,1)为坐标的点Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程 (3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围 12某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？点拨与全解：1.因平移后的直线，即，由圆心到直线之距公式得得，选A。2从图知，且，两直线交点为，选C。3.解：由y=10x（0x15，xN）转化为求满足不等式y10x（0x15，xN）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B。4.解:与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A。5.解析：如图所示：图由消y得：x23x+2=0，x1=2，x2=1。A（2，0），B（1，）|AB|=2又|OB|OA|=2，AOB是等边三角形，AOB=，故选C。6.解：圆方程化为，所以由得所以直线的倾斜角的取值范围是。7解：可证当CMAB时，ACB最小，从而直线方程，即8 解析 设P(x,y)，依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0 9由等比数列的求和公式得，所以在直线上。10.解：M表示定点（-1，-3）与圆周上的点连线的斜率，设连线方程为，当时，即时有最小值。 11 (1)证明 由条件，得a1=S1=a,当n2时，有an=SnSn1=na+n(n1)b(n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b 因此，当n2时，有anan1=a+2(n1)ba+2(n2)b=2b 所以an是以a为首项，2b为公差的等差数列 (2)证明 b0,对于n2,有所有的点Pn(an,1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)且以为斜率的直线上 此直线方程为y(a1)= (xa),即x2y+a2=0 (3)解 当a=1,b=时，Pn的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C外的条件是 由不等式,得r1由不等式，得r或r+由不等式，得r4或r4+再注意到r0,14=+4+故使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)(1,)(4+,+) 12.解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与O相内切，与A、B相外切 建立如图所示的坐标系，并设P的半径为r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为=1 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圆柱的直径为 cm 第2课时 圆锥曲线考纲指要：圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。考点扫描：1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。4通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；5掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。考题先知： 例1在双曲线上有一个点P，F1、F2为该双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ）A2 B3 C4 D5分析：根据题中条件，列出关于之间的等量关系，再求离心率。解：由题意知：，从而，故选D。点评：上述题型在高考中常出现于选择与填空题中，考查学生对基本概念的掌握程度。例2已知抛物线上有两点A、B关于点M（2，2）对称。（1） 求的取值范围；（2） 当时，该抛物线上是否存在两点C、D，且A、B、C、D四点共圆？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由。分析：在回答“是否存在”这类问题时，常可以先假设存在，然后从假设出发，只需找到一个符合条件的情况，即可说明其存在，“找”的过程，常从特殊情形入手。解：（1）设、是抛物线上关于点M（2，2）对称的两点，则，所以，从而可设是方程的两个不等实根，由， 得.（2）解法一：，抛物线上存在两点、关于M（2，2）对称，。抛物线的方程为，则A（0，0），B（4，4），直线AB的方程为,线段AB的中垂线方程为即，代入，整理得，即。由，可知线段AB的中垂线定与抛物线交于两点，不妨设此两点为，,，CD的中点N坐标为（6，-2），满足,A、B两点在以CD为直径的圆上。存在A、B、C、D四点共圆，且圆的方程为。yxNOABCD解法二：，线段AB的中垂线方程为，可设圆心，圆的方程为，将代入圆的方程，整理得或应有除以外的两根，, ,，且。所以存在，且的无数个圆满足条件。解法三：点为圆与抛物线的交点，由解法2知，、是方程的两根，直线CD为一组斜率为的平行线（图2），yxNOABCDDC设直线CD在轴上的截距为，则直线CD的方程为：，代入抛物线中，得,，此时线段CD的中点为,线段CD的中垂线为与线段AB的中垂线的交点为圆心，当时满足横坐标，由，得，当时，点C或点D与点A或点B重合，直线CD可为斜率为的一组的平行线，其在轴上的截距大于，不等于0或8，弦CD的中点在直线上。点评：解法1 是通过寻找问题的特殊情况求解，表面看来，此题也已答完，通过解法2，使我们找到了求解问题的一般方法，实现了从特殊到一般的飞跃。解法3对问题的进一步挖掘、深化，使得直线、抛物线、圆三者的相对位置更加清晰、明朗。复习智略：例3给定椭圆，是轴上的一个定点，直线：，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，A、B在上的射影分别为A，B，在轴上的射影分别为A“、B”，则 证明 根据椭圆的对称性，只需证情形. (1)若,如图1,设,不妨设,则,又设直线AB的方程为,代入椭圆方程消去整理得于是,所以 又因为,所以(2)若,如图2,设,不妨设,则,以下证明同(1) 综上所述,命题得证.类比一： 给定双曲线，其余条件及结论，同上。 类比二： 给定抛物线 ，是轴上的一定点，直线：，过M任意引一条直线与抛物线交于A、B两点，其余条件及结论同上。推论一：给定椭圆，是轴上的一个定点，直线：，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，A、B在上的射影分别为A，B，则 证明 如图形1,由RtAA”MRtBB”M得 ,于是由例1得证.推论二：设A、B是椭圆，长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A、B的横坐标满足，（1） 若过A点的直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBA=QBA； （2）若过B点的直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBA+QBA=1800；证明：（1）如图形3，设，则，又设P、Q在在轴上的射影分别为P，Q，则由例1可得RtPPBRtQQB，于是PBA=QBA。同理可证结论（2）成立。推论三： 给定椭圆，是轴上的一个定点，N是直线：与轴的交点，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，BCMN,点C在直线上 ,则直线AC平分线段MN.证明:如图4,设A在直线上的射影为D,因为ADBCMN,则有,又,(由推论1),所以,即直线AC平分线段MN.又由推论3不难推出如下结论:推论四：给定椭圆，是轴上的一个定点，N是直线：与轴的交点，过M任意引一条直线与椭圆交于A、B两点，A,B在直线上的射影分别为A,B,则直线A B ,B A, MN相交于一点.检测评估：1已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)2.当时，函数的最小值是（ ）A2 B C4 D3.设双曲线的左、右焦点分别为、，若过且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为( ) A2 B。 C。 D。4已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于( )A 3 B C D 5 已知抛物线y=x21上一定点B(1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值范围是（ ） A(,33,+) B(,13,+) C(,31,+) D(,11,+)6设椭圆=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 。7.已知是圆为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为 . 8对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。能使这抛物线方程为y210x的条件是 （要求填写合适条件的序号）9.已知点为双曲线的右焦点，M是双曲线右支上一动点，又点的坐标是，则的最大值为 ;10 设是椭圆上任意一点，则到直线的距离的最大值是 ；11如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为 曲线E. （I）求曲线E的方程； （II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间）， 且满足，求的取值范围. 12、在等差数列中，其中是数列的前项之和，曲线的方程是，直线的方程是.（1）求数列的通项公式；（2）当直线与曲线相交于不同的两点，时，令，求的最小值；（3）对于直线和直线外的一点P，用“上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线与直线不相交，试以类似的方式给出一条曲线与直线间“距离”的定义，并依照给出的定义，在中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线的“距离”.点拨与全解：1.解：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C。2解：原式化简为，则y看作点A（0，5）与点的连线的斜率。因为点B的轨迹是即过A作直线，代入上式，由相切（0）可求出，由图象知k的最小值是4，故选C。3解：由条件得，所以，故选A。4 解析 由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直线AC所在方程为x3y+2=0,点B到该直线的距离为d= m(1,4),当时，SABC有最大值，此时m= 故选 B5 解析 设P(t,t21)，Q(s,s21)，BPPQ,=1,即t2+(s1)ts+1=0 tR,必须有=(s1)2+4(s1)0 即s2+2s30,解得s3或s1 故选D。6解：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为，即e=。7.解：由条件知，根据椭圆定义得，从而所求轨迹方程为8.解：从抛物线方程易得，分别按条件、计算求抛物线方程，从而确定。答案：，9解：因右准线方程是，记点M到右准线距离为，则，所以，当点M与A的连线垂直于准线时，所求值最大，为。10解：设，则到直线的距离为，即最大值是。11解：（I） NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为（II）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在，方程为12解：（1），又， ，. （2），由题意，知，即， 或，即或，即或时，直线与曲线相交于不同的两点. ，时，的最小值为. （3）若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是：曲线上的点到直线距离的最小值. 曲线与直线不相交时，即，即， 时，曲线为圆，时，曲线为椭圆. 选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，它到直线的距离，椭圆到直线的距离为. （椭圆到直线的距离为）