2022年高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明同步练习 文

2022年高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明同步练习 文1了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0ab；ab0ab；ab0ab.2不等式的基本性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0abbn(nN，n1)；(6)可开方：ab0(nN，n2)不等式的两类常用性质(1)倒数性质ab，ab0；a0b；ab0,0cd；0axb或axb0.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则真分数的性质；(bm0)；假分数的性质；(bm0)1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母()答案：(1)(2)(3)(4)2下列命题正确的是()A若acbc，则abB若a2b2，则abC若，则abD若，则ab答案：D3已知a，b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：.又当ab0时，a与b同号，由ab0知a0，且b0.答案：C4._1(填“”或“”)解析：11.答案：5下列不等式中恒成立的是_m3m5；5m3m；5m3m；5m5m.解析：m3m520，故恒成立；5m3m20，故恒成立；5m3m2m，无法判断其符号，故不恒成立；5m5m2m，无法判断其符号，故不恒成立答案：比较两个数(式)的大小1若a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_解析：作差可得(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(a1a2)(b1b2)，a1a2，b1b2，(a1a2)(b1b2)0，即a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：a1b1a2b2a1b2a2b12若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：3若实数m1，比较m2与的大小解析：m2，当m1时，m2；当m1时，m2.比较两个数大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤(3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小不等式的性质(1)(xx四川卷)若ab0，cd0，则一定有()ABCD(2)(xx陕西咸阳摸底)若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2B1Clg(ab)0Dab解析：(1)cd0，0，0，又ab0，故选B(2)当a1，b2时，a2b2，1，lg(ab)0，可排除A，B，C，故选D答案：(1)B(2)D1(xx广东东莞一模)设a，bR，若a|b|0Ba3b30Ca2b20Dab0解析：当b0时，ab0；当b0时，ab0，ab0，ab0，故选D答案：D2若a0ba，cd0，则下列结论：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的个数是()A1B2C3D4解析：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，cd.ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选C答案：C3(xx浙江卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3B3c6C6c9Dc9解析：由0f(1)f(2)f(3)3，得01abc84a2bc279a3bc3，由1abc84a2bc，得3ab70，由1abc279a3bc，得4ab130，由，解得a6，b11，0c63，即6c9，故选C答案：C1.判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质2在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式解析：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋产品需用4 h；生产每袋产品需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t试根据这些数据预测明年的产量解析：设明年的产量为x袋，则解得80 000x90 000.预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围A级基础训练1已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMND不确定解析：MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.MN.答案：B2设，那么2的取值范围是()ABC(0，)D解析：由题设得02，0，0，2.答案：D3(xx山西太原模拟)已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2Ba2bab2CD解析：由abb2，知A不成立；由ab，若abab2，知B不成立；若a1，b2，则2，此时，所以D不成立；对于C，0，0.其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故选D答案：D2已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b1；当a0时，b21b，即无解综上可得b1.答案：(，1)3已知12a60,15b36，求ab，的取值范围解析：15b36，36b15.又12a60，1236ab6015，24ab45，即ab的取值范围是(24,45)，4，即的取值范围是.4某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解析：设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xxn，y2nx.所以y1y2xxnnxxnxx.当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；当n5时，y1y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠第二节一元二次不等式及其解法1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx21分式不等式与一元二次不等式的关系(1)0等价于(xa)(xb)0.(2)0等价于(xa)(xb)0.(3)0等价于(4)0等价于2两个常用的结论(1)不等式ax2bxc0(a0)对任意实数x恒成立(2)不等式ax2bxc0(a0)对任意实数x恒成立1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2不等式x(2x)0的解集是()A(，0)B(0,2)C(，0)(2，)D(2，)答案：B3x2axb0的解集为x|x2或x3，则ab的值是()A1B1C11D12答案：C4a0时，不等式x22ax3a20的解集是_解析：x22ax3a20，x13a，x2a.又a0，不等式的解集为x|3axa答案：x|3ax0)解析：(1)原不等式转化为16x28x10，即(4x1)20，xR，故原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(ax1)(x2)0，原不等式可以化为a(x2)0，根据不等式的性质知这个不等式等价于(x2)0，方程(x2)0的两个根是2，.当0a时，2时，2，不等式的解集是 .综上所述，当0a时，不等式的解集为 .1.解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏一元二次不等式恒成立问题设函数f(x)mx2mx1(m0)(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解析：(1)要使mx2mx10恒成立，由m0，得4m0.所以4m0，|a|1恒成立的x的取值范围解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.故x的取值范围为(，2)(4，)3(xx广东湛江检测)设奇函数f(x)在1,1上是单调函数，且f(1)1.若函数f(x)t22at1对所有的x1,1都成立，则当a1,1时，求t的取值范围解析：f(x)为奇函数，f(1)1，f(1)f(1)1.又f(x)在1,1上是单调函数，1f(x)1，当a1,1时，t22at11恒成立，即t22at0恒成立令g(a)t22at，a1,1，解得t2或t0或t2.t的取值范围为t2或t0或t2.恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方一元二次不等式的应用某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？解析：依题意得G(x)x2，设利润函数为f(x)，则f(x)R(x)G(x)，所以f(x)(1)要使工厂有盈利，则有f(x)0，因为f(x)0或或5x8.2或5x8.21x5或5x8.21x8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内(2)0x5时，f(x)0.4(x4)23.6，故当x4时，f(x)有最大值3.6.而当x5时，f(x)8.253.2，所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x4时，2.4(万元/百台)240(元/台)故此时每台产品的售价为240元某同学要把自己的计算机接入因特网现有两家ISP公司可供选择公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解析：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为元若能够保证选择A比选择B费用少，则1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少；上网5小时，公司A、B的费用一样求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果A级基础训练1(xx广东惠州模拟)不等式0的解集为()A2,1B(2,1C(，2)(1，)D(，2(1，)解析：02x1.答案：B2已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，那么ab等于()A3B1C1D3解析：由题意得Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，ab3.答案：A3下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)解析：由xx2可得即解得综合知x1.答案：A4如果关于x的不等式5x2a0的所有正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是()A80,125)B(80,125)C(，80)D(125，)解析：由5x2a0，得x ，而5x2a0的所有正整数解是1,2,3,4，4 5，80a125.答案：A5(xx辽宁五校协作体联考)已知一元二次不等式f(x)0的解集为，则f(ex)0的解集为()Ax|xln 2或xln 3Bx|ln 2xln 3Cx|xln 3Dx|ln 2xln 3解析：由题意可知一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f(x)0的解集为，又f(ex)0，ex3，解得ln 2xln 3.答案：D6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27(xx重庆万州考前模拟)若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_解析：由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同除以a，得x2x0，所以x2x0，即5x2x40，解得1x，故原不等式的解集为.答案：8若关于x的不等式ax2x2a0的解集为，则实数a的取值范围是_解析：依题意可知，问题等价于ax2x2a0恒成立，当a0时，x0不恒成立，故a0舍去；当a0时，要使ax2x2a0恒成立，即f(x)ax2x2a的图象不在x轴的下方，即解得a，即a的取值范围是.答案：9已知二次函数yx2pxq，当y0时，有x，解不等式qx2px10.解析：因为当y0时，有x，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10x2x10x2x60，解得2x3，即不等式qx2px10的解集为x|2x310已知函数f(x)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2xa2a0.解析：(1)函数f(x)的定义域为R，ax22ax10恒成立，当a0时，10恒成立，当a0时，则有0a1.综上可知，a的取值范围是0,1(2)f(x)，a0，当x1时，f(x)min，由题意得，a，不等式x2xa2a0可化为x2x0，解得x，所以不等式的解集为.B级能力提升1对一切正整数n，不等式恒成立，则实数x的取值范围是()A(，0)B(，0)(1，)C(1，)D(，0)1，)解析：由条件知只需max，而1.1，解得x(，0)1，)答案：D2若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_解析：原不等式即(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1；当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.答案：4,33一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p1602x，生产x件的成本R50030x(元)(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解析：(1)由题意知，月利润ypxR，即y(1602x)x(50030x)2x2130x500.由月利润不少于1 300元，得2x2130x5001 300.即x265x9000，解得20x45.故该厂月产量在2045件时，月利润不少于1 300元(2)由(1)得，y2x2130x50022，由题意知，x为正整数故当x32或33时，y最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元4设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比较f(x)与m的大小解析：(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)0，即a(x1)(x2)0.那么当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x1或x2；当a0时，不等式F(x)0的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，且0xmn，xm0,1anax0.f(x)m0，即f(x)m.第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集3线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1确定二元一次不等式表示的平面区域的方法确定二元一次不等式表示的平面区域，常采用“直线定界，测试点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域，由于对在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为确定AxByC的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0,1)、(1,0)等点2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值的方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(5)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是()A(0,2)B(2,0)C(0，2)D(2,0)解析：将四个点的坐标分别代入不等式组满足条件的是(0，2)答案：C3(xx湖北卷)若变量x，y满足约束条件则2xy的最大值是()A2B4C7D8解析：画出x，y的约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u2xy，则y2xu，先画出直线y2x，再平移直线y2x，当经过点A(3,1)时，代入u，可得最大值为7，故选C答案：C4已知实数x，y满足则此不等式组表示的平面区域的面积是_解析：作出可行域为如图所示的三角形，S11.答案：5若x，y满足约束条件，则zxy的最大值是_解析：作出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线zxy过点A(1,1)时，目标函数zxy取得最大值0.答案：0二元一次不等式(组)表示的平面区域1若关于x，y的不等式组所表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是()A(，1)B(0,1)C(1,1)D(1，)解析：yax为过原点的直线，当a0时，若能构成三角形，则需0a1；当a0时，若能构成三角形，则需1a0，综上a(1,1)答案：C2(xx安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知SABC2(22)4.答案：41.作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，若直线不过原点，测试点常选取原点2求平面区域的面积，要先确定区域，若是规则图形可直接求，若不规则可通过分割求解求线性目标函数的最值(1)(xx辽宁卷)已知x，y满足约束条件则目标函数z3x4y的最大值为_(2)(xx湖南卷)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析：(1)画出x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分由得点A的坐标为(2,3)作直线l0：3x4y0，可知当平移l0到l(l过点A)时，目标函数有最大值，此时zmax324318.(2)由题意知当z2xy过(k，k)时z2xy有最小值，将(k，k)代入z2xy，3k6，k2.答案：(1)18(2)21(xx全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10B8C3D2解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大故zmax2528.答案：B2(xx北京卷)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2B2CD解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，当k0时，zyx无最小值，所以k0，当k2时可行域内为点(0,2)，不合题意k，故选D答案：D3(xx浙江卷)若实数x，y满足则xy的取值范围是_解析：画出约束条件所确定的可行域(如图中阴影部分所示)令zxy，则yxz，画出直线l：yx，平移直线l，当l经过可行域中的点A(1,0)时，z取最小值，且zmin101；当l经过可行域中的点B(2,1)时，z取最大值，且zmax213，故xy的取值范围是1,3答案：1,34若x，y满足条件当且仅当xy3时，zaxy取得最小值，则实数a的取值范围是_解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，直线3x5y60与2x3y150交于点M(3,3)，由目标函数zaxy，得yaxz，其纵截距为z，当z最小时，z最大依题意，有a.答案：5(xx课标全国卷)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3Bp1，p2Cp1，p4Dp1，p3解析：画出可行域如图阴影部分所示作直线l0：yx，平移l0，当直线经过A(2，1)时，x2y取最小值，此时(x2y)min0.故p1：(x，y)D，x2y2为真，p2：(x，y)D，x2y2为真故选B答案：B6(xx浙江卷)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1a.答案：线性目标函数最值问题的解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值(2)由目标函数的最值求参数求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数求非线性目标函数的最值(1)(xx福建卷)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5B29B37D49(2)实数x，y满足不等式组求z的取值范围解析：(1)平面区域，如图中阴影部分所示，圆C与x轴相切，b1，把y1分别代入xy30和xy70，得x2和x6，2a6，(a2)max36，(a2b2)max36137，故选C(2)作出不等式组表示的可行域，如图中的阴影部分z，所以z的几何意义是动点(x，y)与定点A(1,1)所连直线的斜率结合图可知，z的最小值为直线l1的斜率，z的最大值无限接近于直线l2的斜率值l1的斜率k1kAB，l2与直线xy0平行由得点B的坐标为(1,0)，k1.z.答案：(1)C变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围解析：由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率实际生活中的线性规划问题(xx北京丰台第一学期期末练习)小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量那么最多可以买的科普书与文具的总数是_解析：设买科普书x本与文具y套，总数为zxy，由题意可得作出可行域如图中阴影部分，将zxy转化为yxz，作出直线yx并平移，使之经过可行域，易知经过点A时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18,19)，此时z最大为37.答案：37某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是()A12万元B20万元C25万元D27万元解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，该企业获得的利润为z万元，则由题目可获得如下信息：A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y所以目标函数为z5x3y，作出可行域后如图所示：由得A(3,4)，当直线z5x3y过点A(3,4)时，z取到最大值，故zmax151227，故选D答案：D线性规划应用题的求解应注意(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式A级基础训练1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)解析：根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.答案：B2直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个B1个C2个D无数个解析：直线2xy100与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个答案：B3(xx广东卷)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5B6C7D8解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，由，则mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，由，由nzmin2(1)13，故mn6.答案：B4已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为()A4B3C4D3解析：zxy，目标函数的可行域如图所示，z取最大值的最优解为(，2)，所以zmax24.答案：C5(xx安徽卷)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A或1B2或C2或1D2或1解析：画出x，y约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由zyax得yaxz.当直线yax与直线2xy20或直线xy20平行时，符合题意，则a2或1.答案：D6不等式组表示的区域为D，zxy是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为_；z的最大值为_解析：图象的三个顶点分别为(3，2)、(2，2)、(2,3)，所以面积为.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入zxy，得x2，y3时，有zmax5.答案：57(xx辽宁省五校联考)已知z2xy，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是_解析：根据题中所给的约束条件所得的可行域如图根据y2xz可知z的几何含义为直线在y轴上的截距，显然y2xz在点(1,1)和(m，m)处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m，故343m，解得m.答案：8(xx广东十二校第二次联考)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A(，0)，则z|的最大值为_解析：根据线性规划的知识，画出可行域如图所示因为z的最大值即为可行域内的点到点A的距离的最大值，该点应为可行域中的点B(2,0)，所以zmax.答案：9已知关于x，y的二元一次不等式组求函数zx2y2的最大值和最小值解析：作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率为，在y轴上的截距为z1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z1最小，即z最小，解方程组得A(2，3)，zmin22(3)26.当直线与直线x2y4重合时，截距z1最大，即z最大，zmax426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.10(xx陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x