2022年高中数学 第1章 导数及其应用知能基础测试 新人教B版选修2-2

2022年高中数学 第1章 导数及其应用知能基础测试 新人教B版选修2-2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线yx22x在点 处的切线的倾斜角为()A1B45C45D135答案D解析yx2，所以斜率k121，因此倾斜角为135.故选D.2下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cosx)2xsinx答案B解析1，所以A不正确；(3x)3xln3，所以C不正确；(x2cosx)2xcosxx2(sinx)，所以D不正确；(log2x)，所以B对故选B.3如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图像大致为()答案A解析由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()AmBmCmDm答案A解析因为函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2.令f(x)0，得x0或x3.经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值点为f(3)3m.不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.5直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2B4 C2D4答案D解析如图所示由解得或第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S(4xx3)dx(2x2)|844.6已知f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0()Ae2BeC.Dln2答案B解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1，由f(x0)2，得lnx012，解得x0e.7(xx会宁县期中)曲线f(x)x3x2的一条切线平行于直线y4x1，则切点P0的坐标为()A(0，1)或(1,0)B(1,0)或(1，4)C(1，4)或(0，2)D(1,0)或(2,8)答案B解析由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.切点P0的坐标为(1,0)或(1，4)8函数f(x)x32x3的图象在x1处的切线与圆x2y28的位置关系是()A相切B相交且过圆心C相交但不过圆心D相离答案C解析切线方程为y2x1，即xy10.圆心到直线的距离为xa时，f(x)0，故在a，b上，f(x)为增函数且又由图知f(x)在区间a，b上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10曲线yex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B4e2C2e2De2答案D解析ye，在点(4，e2)处的切线方程为ye2xe2，令x0得ye2，令y0得x2，围成三角形的面积为e2.故选D.11已知函数f(x)的导函数f (x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()答案D解析由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A，B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.12(xx甘肃省会宁一中高二期中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)(c，d)，当且仅当ac，bd；运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为：(a，b)(c，d)(ac，bd)，设p，qR，若(1,2)(p，q)(5,0)，则(1,2)(p，q)()A(4,0)B(2,0) C(0,2)D(0，4)答案B解析由(1,2)(p，q)(5,0)得，所以(1,2)(p，q)(1,2)(1，2)(2,0)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分将正确答案填在题中横线上)13经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程为_答案xy20解析设切点为，则，解得x01，所以切点为(1,1)，斜率为1，直线方程为xy20.14若函数f(x)在(0，)上为增函数，则实数a的取值范围是_答案a0解析f(x)a，由题意得，a0对x(0，)恒成立，即a，x(0，)恒成立a0.15(xx安徽理，15)设x3axb0，其中a，b均为实数下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，求导得f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)0，所以f(x)x3axb必有一个零点，即方程x3axb0仅有一根，故正确；当a0时，若a3，则f(x)3x233(x1)(x1)，易知，f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在1,1上单调递减，所以f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使方程仅有一根，则f(x)极大f(1)13bb20，解得b2，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是.16已知函数f(x)x33x，若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_答案(3，2)解析f (x)3x23，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，切线经过点A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，当0x01时，此函数单调递增，当x01时，此函数单调递减，当x00时，m3，当x01时，m2，当3m0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因为x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.18(本题满分12分)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立解析(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又当x1时，f(x)取得极值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x1，当1x1时，f (x)0，函数f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，函数f(x)单调递增；函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间1,1上单调递减，且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为mf(1)2.对任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|Mm4成立即对任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|0)，借款的利率为4.8%.又银行吸收的存款能全部放贷出去(1)若存款利率为x，x(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解析(1)由题意，存款量g(x)kx2.银行应支付的利息h(x)xg(x)kx3.(2)设银行可获得收益为y，则y0.048kx2kx3.y0.096kx3kx2.令y0，得x0(舍去)或x0.032。当x(0,0.032)时，y0；当x(0.032,0.048)时，y0.当x0.032时，y取得最大值即当存款利率为3.2%时，银行可获最大收益21(本题满分12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.(1)若f(x)在x3处取得极值，求常数a的值；(2)若f(x)在(，0)上为增函数，求a的取值范围解析(1)f(x)6x26(a1)x6a6(xa)(x1)因f(x)在x3处取得极值，所以f(3)6(3a)(31)0，解得a3.经检验知当a3时，x3为f(x)的极值点(2)令f(x)6(xa)(x1)0得x1a，x21.当a0，所以f(x)在(，a)和(1，)上为增函数当0a0，所以f(x)在(，1)和(a，)上为增函数，从而f(x)在(，0)上为增函数综上可知，当a0时，f(x)在(，0)上为增函数22(本题满分14分)(xx福建理，20)已知函数f(x)ln (1x)，g(x)kx(kR)(1)证明：当x0时，f(x)x；(2)证明：当k1时，存在x00，使得对任意的x(0，x0)，恒有f(x)g(x)解析(1)令F(x)f(x)xln(1x)x，x0，)，则有F(x)1. 当x(0，)时，F(x)0，所以F(x)在0，)上单调递减； 故当x0时，F(x)F(0)0，即当x0时，f(x)x. (2)令G(x)f(x)g(x)ln(1x)kx，x0，)，则有G(x)k. 当k0时G(x)0，所以G(x)在0，)上单调递增，G(x)G(0)0， 故对任意正实数x0均满足题意 当0k1时，令G(x)0，得x10. 取x01，对任意x(0，x0)，恒有G(x)0，从而G(x)在0，x0)上单调递增，G(x)G(0)0，即f(x)g(x)