九年级数学竞赛辅导讲座 第十六讲 锐角三角函数

九年级数学竞赛辅导讲座 第十六讲 锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1单调性； 2互余三角函数间的关系； 3同角三角函数间的关系 平方关系：sin2+cos2=1； 商数关系：tg=，ctg=； 倒数关系：tgctg=1 【例题求解】【例1】 已知在ABC中，A、B是锐角，且sinA，tanB=2，AB=29cm，则SABC = 思路点拨 过C作CDAB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC13m，CD2n，BDn，解题的关键是求出m、n的值注：设ABC中，a、b、c为A、B、C的对边，R为ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) SABC=； （2）【例2】 如图，在ABC中ACB90，ABC15，BC=1，则AC=( ) A B C0.3 D 思路点拨 由15构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形 （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换【例3】 如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，过BC的中点D作DEAB于E，连结CE，求sinACE的值思路点拨 作垂线把ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比【例4】 如图，在ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cosDAC， (1)求证：ACBD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的长 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=，引入参数可设AD=12，AC13【例5】 已知：在RtABC中，C=90，sinA、sinB是方程的两个根 (1)求实数、应满足的条件； (2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于RtABC中两锐角A、B的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件学历训练1已知为锐角，下列结论sin+cos=l；如果45，那么sincos；如果cos ，那么60； 正确的有 2如图，在菱形ABCD中，AEBC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为 3如图，C=90，DBC=30，ABBD，利用此图可求得tan75= 4化简 (1)= (2)sin2l+sin22+sin288+sin289= 5身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( ) A甲的最高 B丙的最高 C乙的最低 D丙的最低6已知 sincos=，且045则co-sin的值为( ) A B C D7如图，在ABC中，C90，ABC30，D是AC的中点，则ctgDBC的值是( ) A B C D 8如图，在等腰RtABC中C90，AC6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为( ) A B2 C 1 D 9已知关于的方程的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值10如图，D是ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AEBC于E，若BD8，sinCBD=，求AE的长 11若045，且sincon=，则sin= 12已知关于的方程有两个不相等的实数根，为锐角，那么的取值范围是 13已知是ABC的三边，a、b、c满足等式，且有，则sinA+sinB+sinC的值为 14设为锐角，且满足sin=3cos，则sincos等于( ) A B C D 15如图，若两条宽度为1的带子相交成30的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A2 B C1 D 16如图，在ABC中，A30，tanB=，AC=，则AB的长是( ) A B C5 D17己在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且c=，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实根的平方和为6，求ABC的面积18如图，已知AB=CD=1，ABC90，CBD=30，求AC的长 19设 a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断与的关系，并证明你的结论20如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线滚动(1)当ABC滚动一周到A lB1C1的位置，此时A点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，=3.14) (2)设ABC滚动240，C点的位置为C，ABC滚动480时，A点的位置在A，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(+)=(tan+tan)(1-tantan)，求出CAC+CAA的度数 参考答案