2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(IV)

2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(IV)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1圆C：x2+y22x+2y2=0的圆心坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A正方形B圆C等腰三角形D直角梯形3若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y2=0平行，则m的值为（）A2B3C2或3D2或34直线l：x+y4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A相离B相切C相交不过圆心D相交且过圆心5某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A2B3C4D56长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）AB56C14D167直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），其斜率取值范围是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k18圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的公共弦长为（）ABC3D9已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，则球O的体积为（）A4BCD1210圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A1个B2个C3个D4个11如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是（）AACBDB四面体 ABCD的体积为 CCA与平面 ABD所成的角为 30DBAC=9012某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知 a，b，c是两两不等的实数，点 P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线 PQ的倾斜角为14已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36，那么该三棱柱的体积是16如果实数x，y满足等式（x2）2+y2=1，那么的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围18已知函数y=x24x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线xy+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点（）证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比20如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB1=60，BC=1，求三棱柱ABCA1B1C1的高21已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx2（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB=时，求k的值（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值22设一直线l经过点（1，1），此直线被两平行直线l1：x+2y1=0和l2：x+2y3=0所截得线段的中点在直线xy1=0上，求直线 l的方程参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1圆C：x2+y22x+2y2=0的圆心坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【考点】圆的一般方程【分析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（，），由此能求出结果【解答】解：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（，），圆x2+y22x+2y2=0的圆心坐标为：（1，1）故选：B2一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A正方形B圆C等腰三角形D直角梯形【考点】由三视图求面积、体积【分析】分别令几何体为正四棱柱，圆柱和底面为等腰直角三角形的三棱柱，可判断A，B，C的真假，令底面是直角梯形，结合三视图的定义，可判断正视图和俯视图中有一个应该是矩形中有一条实线（或虚线）的情况，可判断D的真假【解答】解：如果该几何体是一个正四棱柱，则其左视图必为正方形，故A错误如果该几何体是一个圆柱，则其左视图必为圆，故B错误如果该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱，则其左视图必为等腰三角形形，故C错误如果该几何体的左视图为直角梯形，则其正视图和俯视图中有一个矩形中应该有一条实线（或虚线），故D正确故选D3若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y2=0平行，则m的值为（）A2B3C2或3D2或3【考点】两条直线平行的判定【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值【解答】解：直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y2=0平行，=，解得m=2或3，故选 C4直线l：x+y4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A相离B相切C相交不过圆心D相交且过圆心【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆C的方程求出圆心坐标和半径，由条件和点到直线的距离公式，求出圆C到直线l的距离，可得到答案【解答】解：由题意得，圆C：x2+y2=4的圆心C（0，0），半径r=2，则圆心C到直线l：x+y4=0的距离：d=2=r，所以直线l与圆C相切，故选：B5某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A2B3C4D5【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据和公式求解几何体的表面积即可【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体且表面积是底面积与半球面积的和，其表面积S=3故选B6长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）AB56C14D16【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积【解答】解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14故选C7直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），其斜率取值范围是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k1【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【分析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果【解答】解：因为直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），所以直线端点的斜率分别为： =1， =，如图：所以k或k1故选D8圆O1：x2+y22x=0和圆O2：x2+y24y=0的公共弦长为（）ABC3D【考点】直线与圆相交的性质【分析】由条件求得公共弦所在的直线方程、一个圆的圆心到公共弦的距离，再利用垂径定理求得公共弦的长【解答】解：圆O1的圆心为（1，0），半径r1=1，圆O2的圆心为（0，2），半径r2=2，故两圆的圆心距，大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交圆和圆两式相减得到相交弦所在直线方程x2y=0，圆心O1（1，0）到直线x2y=0距离为，由垂径定理可得公共弦长为2=，故选：B9已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，则球O的体积为（）A4BCD12【考点】球的体积和表面积【分析】由三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，知BC=，ABC=90故ABC截球O所得的圆O的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的体积【解答】解：如图，三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60，BC=，ABC=90ABC截球O所得的圆O的半径r=AC=1，球O的半径R=2，球O的体积V=R3=故选：B10圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A1个B2个C3个D4个【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆x2+y2+2x+4y3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点【解答】解：圆x2+y2+2x+4y3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8圆心坐标是（1，2），半径是2；圆心到直线的距离为d=，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点故选：C11如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BDCD将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是（）AACBDB四面体 ABCD的体积为 CCA与平面 ABD所成的角为 30DBAC=90【考点】平面与平面垂直的性质【分析】折叠前ABAD，折叠后CD平面ABD，取BD的中点O，推导出AO平面BCD，OC不垂直于BD由此能求出结果【解答】解：折叠前AB=AD=1，BD=，即ABAD，折叠后平面ABD平面BCD，且CDBD，故CD平面ABD，取BD的中点O，AB=AD，AOBD又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AO平面BCDCDBD，OC不垂直于BD假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，故A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为ADAB=AD=1，BD=，ABAD，ABAC，B正确，CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD=45，故C错误；VABCD=VCABD=SABDCD=，故B错误故选：D12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，几何体的体积是V=，在侧面三角形上有a21+b21=6，V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知 a，b，c是两两不等的实数，点 P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线 PQ的倾斜角为45【考点】直线的倾斜角【分析】由经过两点直线的斜率公式，得PQ的斜率为1，再根据斜率k与倾斜角的关系，得tan=1，结合直线倾斜角的取值范围即可得到直线PQ的倾斜角【解答】解：点P（b，b+c），点Q（a，c+a），直线PQ的斜率为k=1设直线的倾斜角为，则tan=10，），=45，故答案是：4514已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为64+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】先根据三视图判断几何体的形状再根据体积公式计算即可【解答】解：几何体为正方体与圆柱的组合体，V圆柱=4；V正方体=444=64；答案是64+415一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36，那么该三棱柱的体积是162【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据球的体积得出球的半径，由球与棱柱相切可知棱柱的高为球的直径，棱柱底面三角形的内切圆为球的大圆，从而计算出棱柱的底面边长和高【解答】解：设球的半径为r，则=36，解得r=3球与正三棱柱的三个侧面相切，球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆，棱柱底面正三角形的边长为2=6球与棱柱的两底面相切，棱柱的高为2r=6三棱柱的体积V=162故答案为16216如果实数x，y满足等式（x2）2+y2=1，那么的取值范围是，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】设k=，则y=kx（k+3）表示经过点P（1，3）的直线，k为直线的斜率，所以求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，当过P直线与圆相切时，如图所示，直线PA与直线PB与圆相切，此时直线PB斜率不存在，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线PA的距离d，令d=r求出此时k的值，确定出t的范围，即为所求式子的范围【解答】解：设k=，则y=kx（k+3）表示经过点P（1，3）的直线，k为直线的斜率，求的取值范围就等价于求同时经过点P（1，3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在，由圆心C（2，0）到直线y=kx（k+3）的距离=r=1，解得：k=，则的取值范围是，+）故答案为：，+）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围【考点】直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程（2）把直线l的方程可化为 y=（a+1）x+a2，由题意得，解不等式组求得a的范围【解答】解：（1）令x=0，得y=a2 令y=0，得（a1）l在两坐标轴上的截距相等，解之，得a=2或a=0所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0（2）直线l的方程可化为 y=（a+1）x+a2l不过第二象限，a1a的取值范围为（，118已知函数y=x24x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线xy+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），由此能求出圆的方程（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，由此能求出结果【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（xa）2+（yb）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，圆的方程为：（x2）2+（y2）2=5（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点（）证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）由题意易证DC1平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1平面BDC；（）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=11=，三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，于是可得（VV1）：V1=1：1，从而可得答案【解答】证明：（1）由题意知BCCC1，BCAC，CC1AC=C，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC由题设知A1DC1=ADC=45，CDC1=90，即DC1DC，又DCBC=C，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC；（2）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=11=，又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，（VV1）：V1=1：1，平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：120如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C（1）证明：B1CAB；（2）若ACAB1，CBB1=60，BC=1，求三棱柱ABCA1B1C1的高【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C平面ABO，可得B1CAB；（2）作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为H，证明CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABCA1B1C1的高【解答】（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，AO平面BB1C1C，AOB1C，AOBC1=O，B1C平面ABO，AB平面ABO，B1CAB；（2）解：作ODBC，垂足为D，连接AD，作OHAD，垂足为H，BCAO，BCOD，AOOD=O，BC平面AOD，OHBC，OHAD，BCAD=D，OH平面ABC，CBB1=60，CBB1为等边三角形，BC=1，OD=，ACAB1，OA=B1C=，由OHAD=ODOA，可得AD=，OH=，O为B1C的中点，B1到平面ABC的距离为，三棱柱ABCA1B1C1的高21已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx2（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当AOB=时，求k的值（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值【考点】直线与圆的位置关系；两点间的距离公式【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离，可求k的值；（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x2+y2=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点；（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2则，表示出四边形EGFH的面积，利用基本不等式，可求四边形EGFH的面积最大值【解答】解：（1）AOB=，点O到l的距离=，（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设，其方程为：，即，又C、D在圆O：x2+y2=2上，即由，得，直线CD过定点（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2则|EF|=2，当且仅当即时，取“=”四边形EGFH的面积的最大值为22设一直线l经过点（1，1），此直线被两平行直线l1：x+2y1=0和l2：x+2y3=0所截得线段的中点在直线xy1=0上，求直线 l的方程【考点】待定系数法求直线方程【分析】记直线l与两平行线的交点为C、D，CD的中点为M，由两直线交点坐标、中点坐标的求法得到点M的坐标，然后利用待定系数法求直线 l的方程【解答】解：设直线 xy1=0与l1，l2的交点为 C（xC，yC），D（xD，yD），则，则C，D的中点M为又l过点（1，1）由两点式得l的方程为，即2x+7y5=0为所求方程xx1月18日