2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案 文 北师大版

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 cos2 1，tan .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式(对应学生用书第62页)1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .2诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限1同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos .2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1化简sin 690的值是()A. B C. DBsin 690sin(72030)sin 30.选B.2若sin ，则tan _.，cos ，tan .3已知tan 2，则的值为_3原式3.4化简sin()cos(2)的结果为_sin2原式(sin )cos sin2.(对应学生用书第62页)考点1同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系的应用技巧(1)弦切互化：利用公式tan 实现角的弦切互化(2)和(差)积转换：利用(sin cos )212sin cos 进行变形、转化(3)“1”的变换：1sin2cos2cos2(tan21)sin2.“知一求二”问题(1)一题多解已知cos k，kR，则sin()()AB.CDk(2)(2019福州模拟)若，sin()，则tan ()A B.C D.(1)A(2)C(1)法一：(直接法)由cos k，得sin ，所以sin()sin .故选A.法二：(排除法)易知k0，从而sin()sin 0，排除选项BCD，故选A.(2)因为，sin ，所以cos ，所以tan .利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的，此时应注意在利用sin2cos21求sin 或cos 时，符号的选取弦切互化(1)(2019郑州模拟)已知5，则cos2sin 2的值是()A.BC3D3(2)已知为第四象限角，sin 3cos 1，则tan _.(1)A(2)(1)由5得5，可得tan 2，则cos2sin 2cos2sin cos .故选A.(2)由(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因为为第四象限角，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan .若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型sin cos 与sin cos 关系的应用(1)若|sin |cos |，则sin4cos4()A. B.C. D.(2)已知为第二象限角，sin ，cos 是关于x的方程2x2(1)xm0(mR)的两根，则sin cos ()A. B.C.D(1)B(2)B(1)因为|sin |cos |，两边平方，得1|sin 2|.所以|sin 2|.所以sin4cos412sin2cos21sin22.故选B.(2)因为sin ，cos 是方程2x2(1)xm0(mR)的两根，所以sin cos ，sin cos ，可得(sin cos )212sin cos 1m，解得m.因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，即sin cos 0，因为(sin cos )212sin cos 1m1，所以sin cos .故选B.对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令sin cos t(t，)，则sin cos ，sin cos (注意根据的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用1.已知sin()，则tan值为()A2B2C.D2D因为sin()，所以sin ，cos ，tan2.故选D.2已知tan 2，则sin2的值为()A. B.C. D.C原式sin2，将tan 2代入，得原式.故选C.3已知sin xcos x，x(0，)，则tan x()AB. C.DD因为sin xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x为钝角，所以sin xcos x，结合已知解得sin x，cos x，则tan x.4若3sin cos 0，则的值为_3sin cos 0cos 0tan ，.考点2诱导公式的应用应用诱导公式的一般思路(1)化大角为小角，化负角为正角；(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍(1)设f()(12sin 0)，则f_.(2)已知cosa，则cossin的值是_(1)(2)0(1)因为f()，所以f.(2)因为coscoscosa，sinsincosa，所以cossin0.(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错1.化简：_.1原式1.2已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_原式tan ，根据三角函数的定义得tan .考点3同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式化简要求化简过程是恒等变换；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值已知f(x)(nZ)(1)化简f(x)的表达式；(2)求ff的值解(1)当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)sin2x；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)sin2x，综上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin2cos21.(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响1.已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. B.C. D.C由已知可得2tan 3sin 50.tan 6sin 10，解得tan 3，又为锐角，故sin .2已知tan()，且，则_.由tan()，得tan ，则.3已知sin cos ，且，则的值为_由sin cos 平方得sin cos ，sin cos ，.教师备选例题已知x0，sin(x)cos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由已知，得sin xcos x，两边平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x，由x0知，sin x0，又sin xcos x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.(2).- 9 -