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规范答题系列3 高考中的立体几何问题命题解读立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算、平面图形的翻折、探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合思想的考查典例示范(本题满分12分)(2019全国卷)图1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角BCGA的大小.信息提取看到想到四边形ACGD共面的条件，想到折叠前后图形中的平行关系；看到想到面面垂直的判定定理；看到想到利用坐标法求两平面法向量的夹角余弦值，想到建立空间直角坐标系规范解答(1)由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.2分由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，故AB平面BCGE.3分又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.4分(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.5分由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.6分以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0).8分设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即9分所以可取n(3,6，).10分又平面BCGE的法向量可取为m(0,1,0)，所以cosn，m.11分因此，二面角BCGA的大小为30.12分易错防范易错点防范措施不能恰当的建立直角坐标系由(1)的结论入手，结合面面垂直的性质及侧面菱形的边角关系建立空间直角坐标系建系后写不出G点的坐标结合折叠后棱柱的侧棱关系：可求出，或者借助折叠前后直角三角形的边角关系，直接求出点G的坐标通性通法合理建模、建系巧解立体几何问题(1)建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；(2)建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解规范特训1.(2019江南十校二模)已知多面体ABCDEF，四边形BCDE为矩形，ADE与BCF为边长为2的等边三角形，ABACCDDFEF2.(1)证明：平面ADE平面BCF；(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值解(1)取BC，DE中点分别为O，O1，连接OA，O1A，OF，O1F.由ABACCDDFEF2，BCDECFAEADBF2，可知ABC，DEF为等腰直角三角形，故OABC，O1FDE，CDDE，CDDF，又DEDFD，故CD平面DEF，平面BCDE平面DEF，因为平面BCDE平面DEFDE，O1FDE，所以O1F平面BCDE.同理OA平面BCDE；所以O1FOA，而O1FOA，故四边形 AOFO1为平行四边形，所以AO1OF，AO1平面BCF，OF平面BCF，所以AO1平面BCF，又BCDE，故DE平面BCF，而AO1DEO1，所以平面ADE平面BCF.(2)以O为坐标原点，以过O且平行于AC的直线作为x轴，平行于AB的直线作为y轴，OO1为z轴建立空间直角坐标系如图则有B(1,1,0)，C(1，1,0)，D(1，1,2)，F(1,1,2)，故(2，2,2)，(2，2,0)，(2,0,2)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，由n，n得取x1得y1，z1，故平面BCF的一个法向量为n(1，1,1)设BD与平面BCF所成角为，则sin |cos，n|.故BD与平面BCF所成角的正弦值为.2(2019河南、河北考前模拟)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，点E是边AD上的一点，且AE2ED，点H是BE的中点，将ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SCSD.(1)证明：SH平面BCDE.(2)求二面角CSBE的余弦值解(1)证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得AEAB2，SESB2，又点H是BE的中点，SHBE.SCSD，点M是线段CD的中点，SMCD.又HMBC，BCCD，HMCD，SMHMM，从而CD平面SHM，得CDSH，又CD，BE不平行，SH平面BCDE.(2)法一：取BS的中点N，BC上的点P，使BP2PC，连接HN，PN，PH，可知HNBS，HPBE.由(1)得SHHP，HP平面BSE，则HPSB，又HNBS，HNHPH，BS平面PHN，二面角CSBE的平面角为PNH.又计算得NH1，PH，PN，cosPNH.法二：由(1)知，过H点作CD的平行线GH交BC于点G，以点H为坐标原点，HG，HM，HS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则点B(1，1,0)，C(1,2,0)，E(1,1,0)，S(0,0，), (0,3,0)，(2,2,0)，(1,1，)设平面SBE的法向量为m(x1，y1，z1)，由 令y11，得m(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(x2，y2，z2)，由令z21，得n(，0,1)cosm，n.二面角CSBE的余弦值为.5
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