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第七节对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)换底公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)(3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义、图像与性质定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图像a10a1定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称1换底公式的两个重要结论(1)loga b；(2)logambnloga b.其中a0且a1，b0且b1，m，nR，m0.2对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1(log29)(log34)()ABC2D4D(log29)(log34)4.故选D.2已知a2，blog2，clog，则()Aabc BacbCcba DcabD因为0a1，b0，cloglog2 31.所以cab.故选D.3函数y的定义域是_由log(2x1)0，得02x11.x1.函数y的定义域是.4函数yloga(4x)1(a0，且a1)的图像恒过点_(3,1)当4x1即x3时，yloga111.所以函数的图像恒过点(3,1)考点1对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算1.设2a5bm，且2，则m等于()AB10C20 D100A由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2计算：100_.20原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.3计算：_.1原式1.4已知log23a,3b7，则log2的值为_由题意3b7，所以log3 7b.所以log 2log.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形考点2对数函数的图像及应用对数函数图像的识别及应用方法(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解(1)(2019浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a0，且a1)的图像可能是()A B C D(2)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.B.C.(1，)D.(，2)(1)D(2)B(1)对于函数yloga，当y0时，有x1，得x，即yloga的图像恒过定点，排除选项A、C；函数y与yloga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图像，可知fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.母题探究1(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x2logax恒成立，只需f1(x)x2在上的图像在f2(x)logax图像的下方即可当a1时，显然不成立；当0a1时，如图所示要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是.2(变条件)若本例(2)变为：当0x时，logax，求实数a的取值范围解若logax在x成立，则0a1，且y的图像在ylogax图像的下方，如图所示，由图像知loga，所以解得a1.即实数a的取值范围是.1(2019合肥模拟)函数yln(2|x|)的大致图像为()ABCDA令f(x)ln(2|x|)，易知函数f(x)的定义域为x|2x2，且f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.当x时，fln 0，排除选项B，故选A.2已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0a1,0c1.3设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20Bx1x20Cx1x21D0x1x21D作出y10x与y|lg(x)|的大致图像，如图显然x10，x20.不妨令x1x2，则x11x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg(x1x2)0，所以0x1x21，故选D.考点3对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论(2)底数与1的大小关系(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的比较大小(1)(2019天津高考)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab(2)已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcbaDcab(1)A(2)D(1)因为alog52log5，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.2，0.50.21，所以acb，故选A.(2)因为alog2e1，bln 2(0,1)，cloglog23log2e1，所以cab，故选D.对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性(2)化同真数后利用图像比较(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较解简单对数不等式(1)若loga1(a0且a1)，则实数a的取值范围是_(2)若loga(a21)loga2a0，则a的取值范围是_(1)(1，)(2)(1)当0a1时，logalogaa1，0a；当a1时，logalogaa1，a1.实数a的取值范围是(1，)(2)由题意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，同时2a1，所以a.综上，a.对于形如logaf(x)b的不等式，一般转化为logaf(x)logaab，再根据底数的范围转化为f(x)ab或0f(x)ab.而对于形如logaf(x)logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解(1)因为a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立所以32a0.所以a.又a0且a1，所以a(0,1).(2)t(x)3ax，因为a0，所以函数t(x)为减函数因为f(x)在区间1,2上为减函数，所以ylogat为增函数，所以a1，当x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，所以即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用1.已知函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)单调递减，则a的取值范围为()A(，4 B4，)C4,4D(4,4D令g(x)x2ax3a，因为f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)单调递减，所以函数g(x)在区间2，)内单调递增，且恒大于0，所以a2且g(2)0，所以a4且4a0，所以4a4.故选D.2函数ylogax(a0且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1，则a_.2或分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a1时，有loga2loga41，解得a.所以a2或.3设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_(1,0)(1，)由题意得或解得a1或1a0.10
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