2022年高考数学一轮复习 不等式选讲教案 理 选修4-5

2022年高考数学一轮复习 不等式选讲教案 理 选修4-5【xx年高考会这样考】1考查含绝对值不等式的解法2考查有关不等式的证明3利用不等式的性质求最值【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.基础梳理1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)af(x)a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解2含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.3基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均值不等式)如果a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立5不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等双基自测1不等式1|x1|3的解集为_答案(4，2)(0,2)2不等式|x8|x4|2的解集为_解析令：f(x)|x8|x4|当x4时，f(x)42；当4x8时，f(x)2x122，得x5，4x5；当x8时，f(x)42不成立故原不等式的解集为：x|x5答案x|x53已知关于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_解析|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.答案k14若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为_解析由|3xb|4，得x，即解得5b7.答案(5,7)5(xx南京模拟)如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是_解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a5或a3.答案(，53，) 考向一含绝对值不等式的解法【例1】设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数yf(x)的最小值审题视点 第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值解(1)f(x)|2x1|x4|当x时，由f(x)x52得，x7.x7；当x4时，由f(x)3x32，得x，x4；当x4时，由f(x)x52，得x3，x4.故原不等式的解集为.(2)画出f(x)的图象如图：f(x)min. (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法【训练1】 设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函数f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(x)f(x)的最小值为1a.若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.对于xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，a的取值范围是(，13，)考向二不等式的证明【例2】证明下列不等式：(1)设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)a68b6c62a2b2c2.审题视点 (1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab)(ab)(3a22b2)ab0，ab0,3a22b20.(ab)(3a22b2)0.3a22b33a2b2ab2.(2)a24b224ab，a29c226ac，4b29c2212bc，2a28b218c24ab6ac12bc，a24b29c22ab3ac6bc.(3)a68b6c63 3a2b2c22a2b2c2，a68b6c62a2b2c2. (1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤是：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明【训练2】 (xx辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立证明法一因为a，b，c均为正数，由基本不等式得，a2b2c23(abc)，3(abc)，所以29(abc)，故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以a2b2c2abbcac.同理，故a2b2c22abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立故当且仅当abc3时，原不等式等号成立考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例3】已知a，b，cR，且abc1，求的最大值审题视点 先将()平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解解法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1，()218，3.当且仅当时，等号成立()max3. 利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立【训练3】 已知abc1，ma2b2c2，求m的最小值解法一abc1，a2b2c22ab2bc2ac1，又a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，2(a2b2c2)2ab2ac2bc，1a2b2c22ab2bc2ac3(a2b2c2)a2b2c2.当且仅当abc时，取等号，mmin.法二利用柯西不等式(121212)(a2b2c2)(1a1b1c)abc1.a2b2c2，当且仅当abc时，等号成立mmin 如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对不等式选讲的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题【示例】 (本题满分10分)(xx新课标全国)设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值 第(2)问解不等式|xa|3x0的解集，结果用a表示，再由x|x1求a.解答示范 (1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.(3分)故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(5分)(2)由f(x)0得，|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或(8分)因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.(10分) 本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便【试一试】 (xx辽宁)已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集尝试解答(1)f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73.所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x5；当x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x6.