2022年高二上学期期中数学试卷（理科） 含解析(I)

2022年高二上学期期中数学试卷（理科） 含解析(I)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线x+y3=0的倾斜角为（）A30B60C120D15023个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A53B35CA53DC533对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A相切B相交且直线过圆心C相交且直线不过圆心D相离4已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为（）A12B9C6D45若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）Am1Bm0CD6设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则|=（）A2B3CD7在（x1）n（nN+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A960B160C560D9608已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD9P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y210x+24=0上的点，则|PM|PN|的最大值为（）A6B7C8D9104个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A576种B504种C288种D252种11已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d的最小值为（）ABCD12已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为14已知，则x2+y2的最小值是15将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种16已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC中，点A（1，2），B（1，3），C（3，3）（1）求AC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边上的中线的长度18已知（2x2x+1）（12x）6=a0+a1x+a2x2+a8x8（1）求a2；（2）求（a2+a4+a6+a8）2（a1+a3+a5+a7）219已知过点P（1，2）的直线l和圆x2+y2=6交于A，B两点（1）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若，求直线l的方程20设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（3，0），ABF求的面积21已知直线l1：4x3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围22已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1（1）求椭圆T的方程；（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3R5）于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线x+y3=0的倾斜角为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角【解答】解：将已知直线化为y=，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为150，故选：D23个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A53B35CA53DC53【考点】计数原理的应用【分析】每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论【解答】解：共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，不同的选法共有53，故选：A3对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A相切B相交且直线过圆心C相交且直线不过圆心D相离【考点】直线与圆的位置关系【分析】对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论【解答】解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C4已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为（）A12B9C6D4【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，根据椭圆的定义可知：椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则ABF2的周长 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=12【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则ABF2的周长 （|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12，ABF2的周长12，故选A5若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）Am1Bm0CD【考点】双曲线的简单性质【分析】将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得，由此建立关于m的不等式组，解之可得m0【解答】解：曲线表示焦点在y轴上的双曲线，将曲线化成标准方程，得，由此可得1m0且m0，解得m0故选：B6设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则|=（）A2B3CD【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算【分析】设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义得到m+n=4在F1PF2中利用余弦定理，得4=m2+n22mncosF1PF2，结合=算出m2+n2=9，两式联解得出mn=，即得|的值【解答】解：椭圆中，a=2，b=，可得c=1，焦距|F1F2|=2设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4=m2+n22mncosF1PF2，=，cosF1PF2=mncosF1PF2=，代入并整理，可得m2+n2=9，用减去，可得2mn=7，解得mn=，即|=故选：C7在（x1）n（nN+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A960B160C560D960【考点】二项式定理的应用【分析】先求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得的二项展开式中的常数项【解答】解：在（x1）n（nN+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则n=6，则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=26r（1）rx3r，令3r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为23（1）=160，故选：B8已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为因此可知：A，B，D皆有可能，而1，故C不可能故选C9P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y210x+24=0上的点，则|PM|PN|的最大值为（）A6B7C8D9【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设通过双曲线的定义推出|PF1|PF2|=6，利用|MP|PF1|+|MF1|，|PN|PF2|NF2|，推出|PM|PN|PF1|+|MF1|PF2|NF2|，求出最大值【解答】解：双曲线双曲线，如图：a=3，b=4，c=5，F1（5，0），F2（5，0），x2+y2+10x+21=0，x2+y210x+24=0，（x+5）2+y2=4和（x5）2+y2=1，|PF1|PF2|=2a=6，|MP|PF1|+|MF1|，|PN|PF2|NF2|，|PN|PF2|+|NF2|，所以，|PM|PN|PF1|+|MF1|PF2|+|NF2|=6+1+2=9故选D104个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A576种B504种C288种D252种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法共有不同的站法；再把男生甲与女生乙放入，符合条件的是种不同的站法【解答】解：4个男生4个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，有=624=144种不同的站法；现在有7个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：=7144=504故选：B11已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d的最小值为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由设P（2cos， sin），则设=cos=cos，当sin=0，cos=1时，d的最小值【解答】解：椭圆焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上，设P（2cos， sin），则设=cos，=cos，当sin=0，cos=1时，d的最小值为=1=21，d的最小值21，故选B12已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】当r=1，2时，符合题意，排除B，A，C，即可得出结论【解答】解：由题意，r=1时，直线过原点，方程x=0，与x轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除Br=2时，直线过原点，方程y=0，与y轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除A，C故选D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为1【考点】抛物线的标准方程【分析】利用抛物线的标准方程可得 p=1，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=1，故答案是：114已知，则x2+y2的最小值是5【考点】简单线性规划【分析】（1）画可行域；（2）设目标函数 z=x2+y2z为以（0，0）为圆心的圆 半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方）；（3）利用目标函数几何意义求最值【解答】解：已知，如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），因此点A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5则x2+y2的最小值是515将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有109种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】利用间接法，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：5个球全排列为A55=120种情况3个球的编号与盒子的相同，先选出3个小球，放到对应序号的盒子里，有C53=10种情况，另外2个球，有1种不同的放法，故10种情况4个球的编号与盒子的相同，有1种不同的放法，故至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有120101=109种不同的放法，故答案为：10916已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为（1，）（2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】讨论当A，B均在右支上，可得c，当A，B在左右两支上，可得c2a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当A，B均在右支上，可得c，即有2b2ac，即2c2ac2a20，即为2e2e20，解得1e；当A，B在左右两支上，可得c2a，即有e2故答案为：（1，）（2，+）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC中，点A（1，2），B（1，3），C（3，3）（1）求AC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边上的中线的长度【考点】待定系数法求直线方程【分析】（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得AC边上的高所在的直线方程的斜率k，代入点斜式易得；（2）求得线段AB的中点坐标为M（0，），然后利用两点间的距离公式进行解答【解答】解：（1）由斜率公式易知kAC=，AC边上的高所在的直线的斜率k=，又AC边上的高所在的直线过点B（1，3），代入点斜式易得y3=（x+1），整理，得：2x5y+17=0（2）由A（1，2），B（1，3）得到AB边的中点坐标M是（0，），故中线长|CM|=18已知（2x2x+1）（12x）6=a0+a1x+a2x2+a8x8（1）求a2；（2）求（a2+a4+a6+a8）2（a1+a3+a5+a7）2【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【分析】（1）利用展开式的通项公式，求得a2的值（2）令x=0，可得a0 =1，再分别令x=1、x=1，可得两个式子，化简这2个式子，可得要求式子的值【解答】解：（1）分析项的构成，知：（2）原式=（a1+a2+a3+a8）（a1+a2a3+a4a5+a6a7+a8），令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a8=2a1+a2+a3+a8=1，令x=1，得a0a1+a2a3+a4a5+a6a7+a8=2916a1+a2a3+a4a5+a6a7+a8=2915从而原式=291519已知过点P（1，2）的直线l和圆x2+y2=6交于A，B两点（1）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若，求直线l的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）圆心为原点O，由已知OPl，求出l的斜率，可得直线l的方程；（2）分类讨论，利用垂径定理，求出直线的斜率，即可求出直线l的方程【解答】解：（1）易知圆心为原点O，由已知OPl，所以kOPkl=1，而kOP=2，解出，由点斜式可得直线的方程为：x+2y5=0；（2）当直线l的斜率不存在时，刚好满足，此时直线方程为x=1；若直线斜率存在，设为y2=k（x1），整理为kxy+（2k）=0由垂径定理，可得圆心到直线的距离，所以，解出，此时直线的方程为3x4y+5=0综上可知满足条件的直线方程为：x=1或者3x4y+5=020设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（3，0），ABF求的面积【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x，y），则，解得：，代入x2+y2=25，整理得点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1x2=8，利用弦长公式求出丨AB丨，求出点F到AB的距离，即可求ABF的面积【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x，y），由，解得：，P在圆上，x2+y2=25，即x2+（y）2=25，整理得（2）直线，代入C的方程，整理得：x23x8=0由韦达定理可知：x1+x2=3，x1x2=8，线段AB的长度为，点F到AB的距离为，故21已知直线l1：4x3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，则P距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）可设直线AB：x=ky+m代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式可知：又AB与抛物线有两个不同的交点，故=16k2+16m0代入即可求得k的取值范围【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p0）焦点在x轴上，焦点F（，0），由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，P到两直线的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，由点到直线的距离公式可知： =2，解得：p=2，抛物线的方程为y2=4x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），关于直线y=kx+3对称，故可设直线AB：x=ky+m，整理得：y2+4ky4m=0由韦达定理可知：y1+y2=4m，则，点M（x0，y0）在y=kx+3上，则2k=k（2k2+m）+3即又AB与抛物线有两个不同的交点，故=16k2+16m0将m代入上式得：，即k（k+1）（k2k+3）0，k2k+30恒成立，解得：1k0，由故k的取值范围为（1，0）22已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1（1）求椭圆T的方程；（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3R5）于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由于，则|PF1|PF2|的最大值为a2，a2=25，ac=1，c=4，即可求得b的值，求得椭圆T的方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由直线与圆相切代入即可求得A，B坐标，由两点之间的距离公式，利用韦达定理即可求得A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，于是且从而又G、H在椭圆上，则，化简整理得点D在定直线18x+5y45=0上【解答】解：（1）由于，所以|PF1|PF2|的最大值为a2，当|PF1|=|PF2|时取等号，由已知可得a2=25，即a=5，又ac=1，c=4，所以b2=a2c2=9，故椭圆的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，设直线AB的方程为y=kx+m因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，消y得（25k2+9）x2+50kmx+25（m29）=0由于直线与椭圆相切，故，=（50km）24（25k2+9）25（m29）=0，从而可得m2=9+25k2，且由，消y得（k2+1）x2+2kmx+m2R2=0由于直线与椭圆相切，得m2=R2（1+k2），且由得，故，=，即|AB|2当且仅当时取等号，所以|AB|的最大值为2（3）证明：设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，均不为零，记，则0且1，又C、G、D、H四点共线，则于是且从而又G、H在椭圆上，则，消去x1，y1，x2，y2得90x+25y=925，即点D在定直线18x+5y45=0上xx1月14日