2022年高考数学一轮总复习 3.4 定积分与微积分基本定理教案 理 新人教A版

2022年高考数学一轮总复习 3.4 定积分与微积分基本定理教案 理 新人教A版典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】 计算下列定积分的值.(1)(x1)5dx；(2) (xsin x)dx.【解析】(1)因为(x1)6(x1)5，所以 (x1)5dx.(2)因为(cos x)xsin x，所以(xsin x)dx1.【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：若f(x)是偶函数时，则f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函数时，则f(x)dx0.【变式训练1】求(3x34sin x)dx.【解析】(3x34sin x)dx表示直线x5，x5，y0和曲线y3x34sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.又f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x).所以f(x)3x34sin x在5,5上是奇函数，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx，所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0.题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线y22x与直线y4x所围成的平面图形的面积.【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，4)，则S()dx4x()dx18.方法二：S(4y)dy18.【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练2】设k是一个正整数，(1)k的展开式中x3的系数为，则函数yx2与ykx3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为.【解析】Tr1C()r，令r3，得x3的系数为C，解得k4.由得函数yx2与y4x3的图象的交点的横坐标分别为1,3.所以阴影部分的面积为S(4x3x2)dx(2x23x.题型三定积分在物理中的应用【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x0运动到xa时阻力所做的功.【解析】(1)当0t1时，v(t)0，当1t2时，v(t)0，所以前2秒内所走过的路程为sv(t)dt(v(t)dt(1t2)dt(t21)dt=2.2秒末所在的位置为x1x0v(t)dt1(1t2)dt.所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1.(2) 物体的速度为v(bt3)3bt2.媒质阻力F阻kv2k(3bt2)29kb2t4，其中k为比例常数，且k0.当x0时，t0；当xa时，tt1()，又dsvdt，故阻力所做的功为W阻ds kv2vdtkv3dt k(3bt2)3dtkb3t k.【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)a(t)dt，s(t)v(t)dt和WF(x)dx这三个公式.【变式训练3】定义F(x，y)(1x)y，x，y(0，).令函数f(x)F1，log2(x24x9)的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.【解析】因为F(x，y)(1x)y，所以f(x)F(1，log2(x24x9)x24x9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n0)，f(x)2x4.所以解得B(3,6)，所以S(x24x92x)dx(3x29x)=9.总结提高1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.3.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案.