2022年高考数学一轮总复习 2.8 函数与方程教案 理 新人教A版

2022年高考数学一轮总复习 2.8 函数与方程教案 理 新人教A版典例精析题型一确定函数零点所在的区间【例1】已知函数f(x)xlog2x，问方程f(x)0在区间，4上有没有实根，为什么？【解析】因为f ()log220，f(4)4log244260，f()f(4)0，又f(x)xlog2x在区间，4是连续的，所以函数f(x)在区间，4上有零点，即存在c，4，使f(c)0，所以方程f(x)0在区间，4上有实根.【点拨】判断函数f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：函数f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；f(a)f(b)0.【变式训练1】若x0是函数f(x)x2x8的一个零点，则x0(表示不超过x0的最大整数).【解析】因为函数f(x)x2x8在区间(，)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2)f(3)0，所以函数f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点x0，所以x02.题型二判断函数零点的个数【例2】判断下列函数的零点个数.(1)f(x)x2mx(m2)；(2)f(x)x4log2x.【解析】(1)由m24(m2)(m2)240，得知f(x)x2mx(m2)0有两个不同的零点.(2)因为函数f(x)x4log2x在区间(0，)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2)f(3)0，所以函数f(x)在区间(0，)上存在唯一的零点.【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法：(1)方程f(x)0的根的个数即为函数f(x)的零点个数；(2)函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数；特殊情况下，还可以将方程f(x)0化为方程g(x)h(x)，然后再看函数yg(x)与yh(x)的交点个数.【变式训练2】问a为何值时，函数f(x)x33xa有三个零点，二个零点，一个零点？【解析】f(x)3x230，得x11，x21，此时f(x)有极大值f(1)2a，极小值f(1)2a.由图象(图略)得知：当2a2时，函数f(x)有三个零点；当a2或a2时，函数f(x)有两个零点；当a2或a2时，函数f(x)有一个零点.题型三利用导数工具研究函数零点问题【例3】设函数f(x)x32x24x2a.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)关于x的方程f(x)a2在3,2上有三个相异的零点，求a的取值范围.【解析】(1)f(x)3x24x4.由f(x)0，得x2或x；由f(x)0，得2x.故f(x)的递增区间为(，2)、(，)，f(x)的递减区间为(2，).(2)由f(x)a2x32x24xa22a0，令g(x)x32x24xa22a.所以g(x)3x24x4.由(1)可知，g(x)在(，2)和(，)上递增，在(2，)上递减，故g(x)在3，2和，2)上为增函数，在2，上为减函数.关于x的方程f(x)a2在3,2上有三个不同的零点，则解得2a1或3a4.【点拨】(1)先求f(x)，由f(x)0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f(x)的大致图形，找到满足题设的a的条件.【变式训练3】已知函数f(x)ax22bxc的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则的取值范围为()A.(1，)B.(，)(1，)C.(，1)D.(，2)【解析】因为f(x)x2ax2b，由题意可知，画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，表示可行域内的点与点D(1,2)的连线的斜率，记为k，观察图形可知，kCDkkBD，而kCD，kBD1，所以1，故选C.总结提高函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a，b)内有零点时，未必f(a)f(b)0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.