2022年高考数学一轮总复习 5.6 函数y＝Asin(ωx＋ )的图象和性质教案 理 新人教A版

2022年高考数学一轮总复习 5.6 函数yAsin(x )的图象和性质教案 理 新人教A版典例精析题型一“五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又因为T，所以，即2，所以f(x)2sin(2x)，所以函数f(x)sin xcos x(0)的振幅为2，初相为.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把ysin x图象上的所有点向左平移个单位，得到ysin(x)的图象，再把ysin(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到ysin(2x)的图象，然后把ysin(2x)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin(2x)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为yAsin(x)(A0，0)形式，再令x0，2求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则()A.k，B.k，C.k，2，D.k2，【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T4()4，故.将点(，0)代入解析式y2sin(x)，得k，kZ，所以k，kZ.结合各选项可知，选项A正确.题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)sin2xsin xsin(x)2cos2x，xR(0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.【解析】(1)f(x)sin 2xcos 2xsin(2x).令2x，将x代入可得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x)，经过题设的变化得到函数g(x)sin(x)，当x4k，kZ时，函数g(x)取得最大值.令2kx2k，即4k，4k(kZ)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y2sin(3x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点(，0)对称，则|的最小值是()A.B.C.D.【解析】将函数y2sin(3x)的图象向右平移个单位后得到y2sin3(x)2sin(3x)的图象.因为该函数的图象关于点(，0)对称，所以2sin(3)2sin()0，故有k(kZ)，解得k(kZ).当k0时，|取得最小值，故选A.题型三三角函数的综合应用【例3】已知函数yf(x)Asin2(x)(A0，0,0)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求的值；(2)求f(1)f(2)f(2 008).【解析】(1)yAsin2(x)cos(2x2)，因为yf(x)的最大值为2，又A0， 所以2，所以A2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，所以2，所以.所以f(x)cos(x2)1cos(x2)，因为yf(x)过点(1,2)，所以cos(2)1.所以22k(kZ)，解得k(kZ)，又因为0，所以.(2)方法一：因为，所以y1cos(x)1sin x，所以f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因为yf(x)的周期为4,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.方法二：因为f(x)2sin2(x)，所以f(1)f(3)2sin2()2sin2()2，f(2)f(4)2sin2()2sin2()2，所以f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因为yf(x)的周期为4,2 0084502.所以f(1)f(2)f(2 008)45022 008.【点拨】函数yAcos(x)的对称轴由xk，可得x，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)Acos2x2(A0，0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)f(4)f(6)f(20).【解析】f(x)Acos2x2A22，则由题意知A26，8，所以A4，所以f(x)2cos x4，所以f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，观察周期性规律可知f(2)f(4)f(20)2(4246)4238.总结提高1.用“五点法”作yAsin(x)的图象，关键是五个点的选取，一般令x0，2，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整x的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决yAsin(x)的有关性质时，应将x视为一个整体x后再与基本函数ysin x的性质对应求解.