2022年高一下学期期末数学试卷（理科）含解析

2022年高一下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题1已知集合U=1，2，3，4，集合A=1，3，4，B=2，4，则集合（UA）B=（）A2B4C1，3D2，42x20是x0的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也必要条件3在等比数列an中，a2=6，a3=18，则a1+a2+a3+a4=（）A26B40C54D804设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn若a1=d=1，则的最小值为（）A10BCD +25为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度6已知平面向量，满足|=2，（ +2）（）=6，则与的夹角为（）ABCD7己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1对，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A0B0或C0或D或8设ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）AABC=90BBAC=90CAB=ACDAC=BC二、填空题9已知两点A（1，1），B（1，2），若=，则C点坐标是_10在等差数列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于_11设函数，则实数a的取值范围是_12若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为_13在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值_14已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinx的图象上，则正数的 所有取值的集合为_三、解答题.15已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bnan为等比数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和16已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间0，m上恰好有10个零点，求正数m的最小值17如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，ABO为正三角形（1）若点A的坐标为，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值18已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex，其中aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n（2，3），且mn，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围19设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR（1）当a=0时，求证：f（x）x，对任意的x（0，+）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若x0，f（x）0成立，求a的取值范围20设集合S=x|x=，kN*（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列an中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q（0，）；（3）设正整数n1，若S的n元子集A满足：对任意的x，yA，且xy，有|xy|，求证：n15xx学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1已知集合U=1，2，3，4，集合A=1，3，4，B=2，4，则集合（UA）B=（）A2B4C1，3D2，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，4，B=2，4，UA=2，（UA）B=2，4故选：D2x20是x0的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据x20，得到x的范围和x0比较即可【解答】解：由x20得到：x0，而x0推不出x0，不是充分条件，由x0能推出x0，是必要条件，x20是x0的必要不充分条件，故选：B3在等比数列an中，a2=6，a3=18，则a1+a2+a3+a4=（）A26B40C54D80【考点】等比数列的前n项和【分析】根据等比数列an中，a2=6，a3=18，求得数列的首项与公比，即可求和【解答】解：等比数列an中，a2=6，a3=18，=3， =2a1+a2+a3+a4=2+618+54=40故选B4设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn若a1=d=1，则的最小值为（）A10BCD +2【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知条件推导出=，由此利用均值定理取最小值【解答】解：等差数列an的公差为d，前n项和为Sna1=d=1，=1+=+=，当且仅当，即n=4时，取最小值故选：B5为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】五点法作函数y=Asin（x+）的图象【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论【解答】解：函数y=sin（2x）=sin2（x），为了得到函数y=sin（2x）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A6已知平面向量，满足|=2，（ +2）（）=6，则与的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出，从而可求出的值，进而便可得出向量的夹角【解答】解：；=6；故选：C7己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1对，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A0B0或C0或D或【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可【解答】解：由对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，结合函数为偶函数，且当0x1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，当直线为n时，直线与曲线相切，联立，消y可得x2xa=0，由=1+4a=0可得a=，故a的值为0，或，故选C8设ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）AABC=90BBAC=90CAB=ACDAC=BC【考点】平面向量数量积的运算【分析】设|=4，则|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，由此能求出ABC是等腰三角形，AC=BC【解答】解：设|=4，则|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=|=|2（a+1）|，=a，于是恒成立，整理得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故ABC是等腰三角形，所以AC=BC故选：D二、填空题9已知两点A（1，1），B（1，2），若=，则C点坐标是【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出【解答】解： =，=故答案为：10在等差数列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于26【考点】数列的函数特性【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出【解答】解：等差数列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，6a4+6a10=24，2a7=4，即a7=2则此数列的前13项之和S13=13a7=26故答案为：2611设函数，则实数a的取值范围是3a1【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a0和a0两种情况，进而求出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a0时，1，得0a1当a0时，1，解得a3，即3a0，故答案为：3a112若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为【考点】函数的最值及其几何意义【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值【解答】解：正数a，b满足a+b=10，令y=+，则y2=a+2+b+3+2，a+b=10，15=a+2+b+32（当a+2=b+3时等号成立），y230，+的最大值为故答案为：13在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得=x0+，构造函数g（x）=x+ex，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）（1，0）=（1，1），设P（x0，），所以=（x0，），故=x0+，构造函数g（x）=x+ex，则g（x）=1+ex，令其等于0可得x=0，且当x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故gmin（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：114已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点都在函数f（x）=sinx的图象上，则正数的 所有取值的集合为|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数的值，从而得出结论【解答】解：若三个点都在函数f（x）=sinx的图象上，则有sin（）=，sin（）=1，sin=0，则，即，求得正数的 所有取值的集合为：|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4故答案为：|=8k+2，kN|=12k+2，或12k+4，kN2，4三、解答题.15已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bnan为等比数列（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意得d=3an=a1+（n1）d=3n（n=1，2，）数列an的通项公式为：an=3n；设等比数列bnan的公比为q，由题意得：q3=8，解得q=2bnan=（b1a1）qn1=2n1从而bn=3n+2n1（n=1，2，）数列bn的通项公式为：bn=3n+2n1；（2）由（1）知bn=3n+2n1（n=1，2，）数列3n的前n项和为n（n+1），数列2n1的前n项和为=2n1数列bn的前n项和为n（n+1）+2n116已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）若函数f（x）在区间0，m上恰好有10个零点，求正数m的最小值【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期；（2）令2k+2x+2k+，函数f（x）单调递减，解得f（x）的单调递减区间；（3）根据正弦函数图象，f（x）=0，sin（2x+）=0，解得2x+=k，（kZ），当k=10，为f（x）的第10个零点，求得m的最小值【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+，=sin（2x+）最小正周期T=，f（x）的最小正周期；（2）令2k+2x+2k+，（kZ），解得：k+xk+，（kZ），函数的单调递减区间为：k+，k+（kZ）；（3）函数f（x）在区间0，m上恰好有10个零点，由正弦函数周期性，可知：f（x）=0，sin（2x+）=0，解得：2x+=k，（kZ），x=，当k=10，x=，正数m的最小值17如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，ABO为正三角形（1）若点A的坐标为，求cosBOC的值；（2）若AOC=x（0x），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程【分析】（1）根据ABO为正三角形求得BOA，利用点A的坐标求得sinAOC和cosAOC，进而利用两角和公式求得cosBOC（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值【解答】解：（1）ABO为正三角形，BOA=60，点A的坐标为，tanAOC=，sinAOC=，cosAOC=，cosBOC=cos（AOC+60）=cosAOCcos60sinAOCsin60=（2）由余弦定理可知AC=2sin，BD=2sin（），AB=OB=1，CD=2，=，0x当x=时，ymax=518已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex，其中aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在m，n（2，3），且mn，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）得到f（x）在（0，2a）递增，在（2a，+）递减，满足条件，从而得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）=（x2+ax+a）ex，f（x）=，a20即a2时，2a0，令f（x）0，解得：2ax0，令f（x）0，x0或x2a，f（x）在（，2a）递减，在（2a，0）递增，在（0，+）递减；a2=0即a=2时，f（x）=0，f（x）在R递减；a20即a2时，2a0，令f（x）0，解得：0x2a，令f（x）0，x2a或x0，f（x）在（，0）递减，在（0，2a，）递增，在（2a，+）递减；（2）由（1）得：22a3，解得：1a019设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR（1）当a=0时，求证：f（x）x，对任意的x（0，+）成立；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若x0，f（x）0成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出f（x）的表达式，令g（x）=ln（x+1）x，根据函数的单调性求出g（x）g（0）=0，从而证出结论；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=2ax2+axa+1，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的极值的个数；（3）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出满足题意的a的范围即可【解答】解：（1）a=0时，f（x）=ln（x+1），定义域是（1，+），令g（x）=ln（x+1）x，g（x）=1=0，g（x）在（0，+）递减，g（x）g（0）=0，故f（x）x，对任意的x（0，+）成立；（2）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR，x（1，+）f（x）=，令g（x）=2ax2+axa+1（i）当a=0时，g（x）=1，此时f（x）0，函数f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点（ii）当a0时，=a28a（1a）=a（9a8）当0a时，0，g（x）0，f（x）0，函数f（x）在（1，+）上单调递增，无极值点当a时，0，设方程2ax2+axa+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1x2x1+x2=，x1，x2由g（1）0，可得1x1，当x（1，x1）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（x1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增因此函数f（x）有两个极值点（iii）当a0时，0由g（1）=10，可得x11x2当x（1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（x2，+）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递减因此函数f（x）有一个极值点综上所述：当a0时，函数f（x）有一个极值点； 当0a时，函数f（x）无极值点； 当a时，函数f（x）有两个极值点 （3）由（2）可知：当0a时，函数f（x）在（0，+）上单调递增f（0）=0，x（0，+）时，f（x）0，符合题意当a1时，由g（0）0，可得x20，函数f（x）在（0，+）上单调递增又f（0）=0，x（0，+）时，f（x）0，符合题意当1a时，由g（0）0，可得x20，x（0，x2）时，函数f（x）单调递减又f（0）=0，x（0，x2）时，f（x）0，不符合题意，舍去；当a0时，设h（x）=xln（x+1），x（0，+），h（x）=0h（x）在（0，+）上单调递增因此x（0，+）时，h（x）h（0）=0，即ln（x+1）x，可得：f（x）x+a（x2x）=ax2+（1a）x，当x1时，ax2+（1a）x0，此时f（x）0，不合题意，舍去综上所述，a的取值范围为0，120设集合S=x|x=，kN*（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；（2）若无穷递减等比数列an中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q（0，）；（3）设正整数n1，若S的n元子集A满足：对任意的x，yA，且xy，有|xy|，求证：n15【考点】数列的应用【分析】（1）由题设，一个4元素恰好构成等差数列；4个元素通分后具有分母相同，分子成等差关系的特点（2）由题设，公比为q，q是有理数，设，（a，b互质），构造无穷递减等比数列证明（3）在（0，）S中，对任意的x，yA，且xy，有|xy|，满足条件有7个数在（，1）S中，最多有1，满足条件有8个数，即可得到答案【解答】解：（1）S的一个4元素恰好构成等差数列，S=（2）由题意，数列an是无穷递减等比数列，q是有理数，设，（a，b互质），为S中的数（kN*），则b必为1；，（aN+），q（0，；（3）证明：在（0，）S中，对任意的x，yA，且xy，有|xy|，在（0，）S中的元素个数不超过最多有7个数在（，1）S中，满足条件有1，最多8个数，7+815，即n15得证xx年10月3日