2022年高三上学期期末数学试卷（文科） 含解析(II)

2022年高三上学期期末数学试卷（文科） 含解析(II)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设全集U=1，2，3，4，5，6，集合S=1，3，5，T=3，6，则U（ST）等于（）AB4C2，4D2，4，62复数（i是虚数单位）的虚部是（）AiB1CiD13如果命题“（pq）”为假命题，则（）Ap、q均为真命题Bp、q均为假命题Cp、q至少有一个为真命题Dp、q至多有一个为真命题4在等差数列an中，若前10项的和S10=60，且a7=7，则a4=（）A4B4C5D55一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）Acm3B3cm3Ccm3Dcm36从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为（）A5B10C20D7如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=+，则+=（）ABCD28已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，f（x+1）=f（x1），则方程f（x）=在区间3，3上的所有实根之和为（）A0B2C8D8二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组13，14）；第二组14，15），第五组17，18如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是10阅读下列程序框图，该程序输出的结果是11定义在R上的奇函数f（x），当x（0，+）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）1的解集是12曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为13已知圆C：x2+y26x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=14设函数f（x）=sin（x+）（0，），给出以下四个论断：它的周期为；它的图象关于直线x=对称；它的图象关于点（，0）对称；在区间（，0）上是增函数，以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件结论（注：填上你认为正确的一种答案即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答写出文字说明、证明过程或验算过程15（13分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（）求角B的大小；（）若ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长16（13分）电视台应某企业之约播放两套连续剧其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？17（13分）如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60（）证明：BD平面ADD1A1；（）证明：CC1平面A1BD；（）若DD1=AD，求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值18（13分）在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足，且b1b2b3=（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn19（14分）已知椭圆+=1（ab0）离心率为（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1OQ220（14分）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）当函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然对数的底数时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设全集U=1，2，3，4，5，6，集合S=1，3，5，T=3，6，则U（ST）等于（）AB4C2，4D2，4，6【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：S=1，3，5，T=3，6，ST=1，3，5，6，则U（ST）=2，4，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据补集，并集的定义是解决本题的关键2复数（i是虚数单位）的虚部是（）AiB1CiD1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，复数的虚部是1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3如果命题“（pq）”为假命题，则（）Ap、q均为真命题Bp、q均为假命题Cp、q至少有一个为真命题Dp、q至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出【解答】解：命题“（pq）”为假命题，命题“pq”为真命题，命题p、q均为真命题故选：A【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题4在等差数列an中，若前10项的和S10=60，且a7=7，则a4=（）A4B4C5D5【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得到首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案【解答】解：在等差数列an中，S10=60，a7=7，解得，故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础的计算题5一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）Acm3B3cm3Ccm3Dcm3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，据此可计算出体积【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球，所以其体积为V=r2hr3=3=（cm3）故选D【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量6从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为（）A5B10C20D【考点】抛物线的简单性质【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=1，x0=51=4|y0|=4，MPF的面积为54=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是灵活利用了抛物线的定义7如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=+，则+=（）ABCD2【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，带入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出+的值【解答】解：，；=；由平面向量基本定理得：；解得；故选B【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理8已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，f（x+1）=f（x1），则方程f（x）=在区间3，3上的所有实根之和为（）A0B2C8D8【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】可判断函数f（x）的周期为2，从而化简可得f（x）2=，作函数f（x）2与y=在3，3上的图象，从而结合图象解得【解答】解：f（x+1）=f（x1），函数f（x）的周期为2，f（x）=，f（x）2=，f（x）=，f（x）2=，作函数y=f（x）2与y=在3，3上的图象如下，易知点A与点C关于原点对称，故方程f（x）=在区间3，3上的所有实根之和为0，故选：A【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组13，14）；第二组14，15），第五组17，18如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是27【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在14，16）内的人数为500.16+500.38=27（人）该班成绩良好的人数为27人故答案为：27【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算10阅读下列程序框图，该程序输出的结果是729【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=999的值【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=999的值S=999=729故答案为：729【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题11定义在R上的奇函数f（x），当x（0，+）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）1的解集是（，2）（0，）【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数【分析】设x0，则x0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起【解答】解：设x0，则x0，当x（0，+）时，f（x）=log2x，f（x）=log2（x），f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=log2（x），当x（0，+）时，f（x）1，即log2x1=，解得0x，当x（，0）时，f（x）1，即log2（x）1，则log2（x）1=log22，解得x2，综上，不等式的解集是（，2）（0，）故答案为：（，2）（0，）【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集12曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程【解答】解：求导函数，可得y=3lnx+4，当x=1时，y=4，曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y1=4（x1），即y=4x3故答案为：y=4x3【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题13已知圆C：x2+y26x+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=【考点】圆的切线方程【分析】求出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k=，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案【解答】解：圆C：x2+y26x+8=0的圆心为（3，0），半径r=1当直线y=kx与圆C相切时，点C（3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=切点在第四象限，当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=时，切点在第四象限因此，k=故答案为：【点评】本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题14设函数f（x）=sin（x+）（0，），给出以下四个论断：它的周期为；它的图象关于直线x=对称；它的图象关于点（，0）对称；在区间（，0）上是增函数，以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件结论（注：填上你认为正确的一种答案即可）【考点】命题的真假判断与应用【分析】若 f（x）的周期为，则 函数f（x）=sin（2x+），若再由，可得=，f（x）=sin（2x+），显然能推出成立【解答】解：若f（x）的周期为，则=2，函数f（x）=sin（2x+）若再由f（x）的图象关于直线x=对称，则sin（2+） 取最值，又，2+=，= 此时，f（x）=sin（2x+），成立，故由可以推出 成立故答案为：，另：也正确【点评】本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共80分解答写出文字说明、证明过程或验算过程15（13分）（xx集美区校级模拟）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（）求角B的大小；（）若ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）把题设中的等式整理得即ac+c2=b2a2，进而代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B（）根据B为钝角可推断出b为最长边，根据sinC=2sinA，利用正弦定理可知c=2a，进而推断a为最小边，进而利用余弦定理求得a【解答】解：（）由，整理得（a+c）c=（ba）（a+b），即ac+c2=b2a2，0B，（），最长边为b，sinC=2sinA，c=2a，a为最小边，由余弦定理得，解得a2=1，a=1，即最小边长为1【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆16（13分）（xx秋南开区期末）电视台应某企业之约播放两套连续剧其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【考点】简单线性规划的应用【分析】先设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z写出约束条件与目标函数，欲求两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解【解答】解：将所给信息用下表表示 每次播放时间（单位：min） 广告时间（单位：min） 收视观众（单位：万） 连续剧甲 80 1 60 连续剧乙 40 1 20 限制条件 播放最长时间320 最少广告时间6设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z则目标函数为z=60x+20y，约束条件为，作出可行域如图作平行直线系y=3x+，由图可知，当直线过点A时纵截距最大（6分）解方程组，得点A的坐标为（2，4），zmax=60x+20y=200（万）（11分）所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中属于基础题17（13分）（xx秋南开区期末）如图所示，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，BAD=60（）证明：BD平面ADD1A1；（）证明：CC1平面A1BD；（）若DD1=AD，求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）利用余弦定理和已知条件求得BD和AD的关系，进而求得AD2+BD2=AB2，推断出ADBD，依据DD1平面ABCD，可知DD1BD，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD平面ADD1A1（）连接AC，A1C1，设ACBD=E，连接EA1，根据四边形ABCD是平行四边形，推断出EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1EC，且A1C1=EC，进而推断出四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1EA1，最后利用线面平行的判定定理推断出CC1平面A1BD（）直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角【解答】（）证明：AB=2AD，BAD=60，在ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB22ADABcos60=3AD2，AD2+BD2=AB2，ADBD，DD1平面ABCD，且BD平面ABCDDD1BD，又ADDD1=D，BD平面ADD1A1（）证明：连接AC，A1C1，设ACBD=E，连接EA1，四边形ABCD是平行四边形，EC=AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1EC，且A1C1=EC，四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1EA1，又EA1平面A1BD，CC1平面A1BD；（）解：直线EA1与平面ADD1A1所成角=直线CC1与平面ADD1A1所成角，BD平面ADD1A1，A1D为EA1在平面ADD1A1上的射影，EA1D是直线EA1与平面ADD1A1所成角，DD1=AD，AB=2AD，AD=A1B1MBAD=60，A1D1=AD，DE=AD，A1E=AD，sinEA1D=，直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定，考查线面角考查了学生对立体几何基础知识的掌握18（13分）（xx秋南开区期末）在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足，且b1b2b3=（1）求数列an的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn【考点】数列的求和【分析】（1）由a1=1，且b1b2b3=，可求得公差，即可求出an；（2）由（1）得bn=（）n，anbn=，数列anbn的前n项和Sn可用错位相减法求得【解答】解：（1）设等差数列数列an的公差为d，a1=1，且b1b2b3=，3a1+3d=6d=1an=1+（n1）1=n；（2）由（1）得bn=（）n，anbn=，数列anbn的前n项和SnSn=，sn=【点评】本题考查了等差数列的计算，及错位相减法求和，属于中档题19（14分）（xx秋南开区期末）已知椭圆+=1（ab0）离心率为（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程；（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，且OQ1OQ2【考点】椭圆的标准方程【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x224x+362b2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值【解答】解：（1）椭圆+=1（ab0）离心率为，椭圆上的一点A到两焦点的距离之和为4，解得a=2，b=，椭圆的方程为（2）过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处切线方程为，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），则，化为5x224x+362b2=0，由0，得b，y1y2=2x1x26（x1+x2）+18=，由OQ1OQ2，知x1x2+y1y2=0，解得b2=9，即b=3，b，b=3【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用20（14分）（xx河北区一模）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）当函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然对数的底数时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）由f（x）=x2+xlnx，x0，得f（x）=，从而f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（）由f（x）=，当函数f（x）在1，2上是减函数时，得f（1）=2+a10，f（2）0得a范围是（，）；（）f（x）=x2+axlnx，求出函数的导数，讨论a0，0e，e的情况，从而得出答案【解答】解：（）a=1时，f（x）=x2+xlnx，x0f（x）=，令f（x）0，解得：x，x1（舍），令f（x）0，解得：0x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（）f（x）=，当函数f（x）在1，2上是减函数时，得f（1）=2+a10，f（2）=8+2a10，由得：a，a的范围是（，）；（）f（x）=x2+axlnx，g（x）=f（x）x2=axlnx，x（0，eg（x）=a=（0xe），当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，解得a=（舍去）；当0e时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e上单调递增，g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；当e时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时，g（x）有最小值3【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题