资源描述
第二讲三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换与求值1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin.(2)cos()coscossinsin.(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos.(2)cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan2.3辅助角公式asinxbcosxsin(x).对点训练1(2018山西长治二模)已知sin，则cos的值为()A. B.C. D.解析sin，cos，sin22sincos2，cos212sin21221，cos.故选A.答案A2(2018河南濮阳一模)设090，若sin(752)，则sin(15)sin(75)()A. B. C D解析因为090，所以75752255.又因为sin(752)0，所以180752255，角752为第三象限角，所以cos(752).所以sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)sin(302)sin(752)45sin(752)cos45cos(752)sin45，故选B.答案B3(2018豫北名校联考)计算： _.(用数字作答)解析.答案4(2018河南六市联考)已知cos，cos()，若0，则_.解析由cos，0，得sin，由0，得0.又cos()，sin() .由()得coscos()coscos()sinsin().，.答案快速审题(1)看到三角函数求值，想到已知角与未知角间的和、差、倍的关系，想到公式求解(2)看到三角函数的平方，想到用二倍角公式降幂(1)三角恒等变换的三原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，如2题二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等(2)解决条件求值应关注的三点分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如4题考点二解三角形1正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推论：cosA，cosB，cosC.变形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.3面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状解析由cosB12sin2得sin2，即cosB.解法一：由余弦定理得，即a2c2b22a2，a2b2c2.ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等，故选A.解法二：由正弦定理得cosB，又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，cosBsinCsinBcosCcosBsinC，即sinBcosC0，又sinB0，cosC0，又角C为三角形的内角，C，ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等，故选A.答案A角度2：利用正弦、余弦定理进行边角计算解(1)由2cosAcosC(tanAtanC1)1，得2(sinAsinCcosAcosC)1，即cos(AC)，cosBcos(AC)，又0B，B.(2)由余弦定理得cosB，又ac，b，2ac3ac，即ac，SABCacsinB.探究追问1若本例第(2)问条件变为“若b，SABC”，试求ac的值解由已知SABCacsinB，ac，则ac6.由余弦定理，得b2a2c22accosB(ac)23ac，所以(ac)2b23ac21，所以ac.探究追问2在本例条件下，若b，求ABC面积的最大值解由余弦定理，得b2a2c22accosBa2c2ac，则3a2c2ac2acac，所以ac3(当且仅当ac时取等号)所以SABCacsinB3sin.故ABC面积的最大值为.利用正、余弦定理解三角形应注意的3点(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用SabsinC形式的面积公式对点训练1角度1在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析因为(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)所以a2cosAsinBb2sinAcosB.解法一：由正弦定理知a2RsinA，b2RsinB，所以sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB.又sinAsinB0，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B.在ABC中，02A2，02B2，所以2A2B或2A2B，所以AB或AB.所以ABC为等腰或直角三角形解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以(a2b2)(a2b2c2)0，所以a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2.所以ABC为等腰或直角三角形答案C2角度2(2018河南、河北重点中学第三次联考)如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c4，b2,2ccosCb，D，E分别为线段BC上的点，且BDCD，BAECAE.(1)求线段AD的长；(2)求ADE的面积解(1)因为c4，b2,2ccosCb，所以cosC.由余弦定理得cosC，所以a4，即BC4.在ACD中，CD2，AC2，所以AD2AC2CD22ACCDcosACD6，所以AD.(2)因为AE是BAC的平分线，所以2，又，所以2，所以CEBC，DE2.又因为cosC，所以sinC.所以SADEDEACsinC.考点三正、余弦定理的实际应用1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解对点训练1(2018广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos_.解析由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos1.答案12(2018福州综合质量检测)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s.(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v m，在RtADB中，AB200 m.在RtADC中，AC100 m.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，解得v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案22.6快速审题看到三角函数的实际应用问题，想到各类角的概念，想到确定一个解斜三角形的数学模型解三角形实际问题的4步骤1(2018全国卷)若sin，则cos2()A. B. C D解析由sin，得cos212sin21221.故选B.答案B2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.解析根据余弦定理得a2b2c22abcosC，因为SABC，所以SABC，又SABCabsinC，所以tanC1，因为C(0，)，所以C.故选C.答案C3(2018全国卷)已知sincos1，cossin0，则sin()_.解析由sincos1，cossin0，两式平方相加，得22sincos2cossin1，整理得sin().答案4(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB，又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，可得tanB.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因为ac，故cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以，sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现2若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第49或第1315题位置上3若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等热点课题8解三角形中的范围问题感悟体验(2018河南豫北联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC(2bc)cosA.(1)求角A的大小；(2)求cos2sin2的取值范围解(1)由正弦定理将原等式化为sinAcosC2sinBcosAsinCcosA，从而可得，sin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosA.又B为三角形的内角，所以sinB0，于是cosA.又A为三角形的内角，因此A.(2)cos2sin2sinBcosC1sinBcos1sinBcoscosBsinsinB1sinBcosB1sin1，由A可知，B，所以B，从而sin，因此，sin1，故cos2sin2的取值范围为.专题跟踪训练(十五)一、选择题1(2018广东七校联考)已知sincos，则cos()A B. C D.解析由sincos，得sincoscos，即sincos，亦即sin，sin，cossinsin，故选C.答案C2(2018贵阳监测)已知sin，则cos的值是()A. B. C D解析sin，coscos12sin2，coscoscoscos.答案D3(2018湖北武汉模拟)在ABC中，a，b，B，则A等于()A. B. C. D.或解析由正弦定理得，所以sinA，所以A或.又ab，所以AB，所以A.答案B4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B2C,2bcosC2ccosBa，则角A的大小为()A. B. C. D.解析由正弦定理得2sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，sinBcosC3sinCcosB，sin2CcosC3sinCcos2C,2cos2C3(cos2Csin2C)，tan2C，B2C，C为锐角，tanC，C，B，A，故选A.答案A5在ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边若bsinA3csinB，a3，cosB，则b()A14 B6 C. D.解析bsinA3csinBab3bca3cc1，b2a2c22accosB912316，b，故选D.答案D6(2018山东日照二模)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB1，BC2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为()A22 B.C.2 D.1解析在ABC中，设ABC，ACB，由余弦定理得：AC21222212cos，ACD为正三角形，CD2AC254cos，SBCD2CDsinCDsinCDcosCDsin，在ABC中，由正弦定理得：，ACsinsin，CDsinsin，(CDcos)2CD2(1sin2)CD2sin254cossin2(2cos)2，0，cosB.(1)由cosB，得sinB，sinA，.又ab10，a4.(2)b2a2c22accosB，b3，a5，4525c28c，即c28c200，解得c10或c2(舍去)，SacsinB15.12在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cosC的最小值解(1)证明：由题意知2，化简得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即2sin(AB)sinAsinB.因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sinC.从而sinAsinB2sinC.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosC，当且仅当ab时，等号成立故cosC的最小值为.18
展开阅读全文