2022年高考数学 高频考点、提分密码 第二部分 导数 新人教版

2022年高考数学 高频考点、提分密码 第二部分 导数 新人教版一、考试要求：1、了解导数概念的实际背景。2、理解导数的几何意义。3、掌握函数y=xn (nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数。4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。5、会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题。二、知识与方法1、导数的定义设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，当自变量x在x0处有增量（或称改为量）x，那么函数y相应的有增量（或称改变量）y，y=f(x0+x)f(x0)比值就叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率. =.如果当x0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限值叫做函数f(x)在x0处的导数（或称变化率），记作f(x0)或y|x=x0或f(x)|x=x0.即：f(x0)=这里须指出：f(x0)是函数y=f(x)在x0点的导数值，瞬时速度就是位移函数s(t)在点t0处的导数，即：S(t0)= 2、求函数y=f(x)在x0点处的导数的步骤求函数的增量y=f(x0+x)f(x0)求平均变化率：=.取极限，求函数在x0点的变化率，即导数：f(x0)=.3、“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系：函数在一点处的导数，就是在该点的函数增量y=f(x0+x)f(x0)与自变量的增量x之比的极限。它是一个常数，不是变量。如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导，这时称y=f(x)在区间(a,b)内可导，对于区间(a,b)内一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样的对应就构成了以区间(a,b)为定义域的一个新函数，称为函数f(x)的导函数，简称导数，所以函数的导数是对某一区间内任意一点x而言的。y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在x=x0处的函数值,即f(x)|=f(x0)，值得注意的是：f(x0)f(x0)4、导数的几何意义函数f(x)在点x0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。如f(x)=在x=0有切线，但不可导。函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是f(x0),切线方程为yf(x0)=f(x0)(xx0)5、常见函数的导数公式C=0 (C为常数) (xn)=nxn1(nQ)6、可导函数四则运算法则设函数f(x)、g(x)都是可导函数，则： (f(x)g(x)=f(x)g(x)三、导数的应用1、利用导数判断函数的单调性设函数y=f(x)在某区间内可导，并且在该区间内，f(x)0，则f(x)在该区间内为增函数；若在该区间内，f(x)0，所得x的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间；令f(x)0，得单调减区间.3、利用导数求函数的极值极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0左右近旁的所有x值，都有f(x)f(x0)我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为f(x)的极值.指出：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁的函数值进行比较；极值点一定是区间的内点。导数为零的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件。极值的判定方法。当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：如果在x0在左侧近旁f(x0)0，右侧近旁f(x0)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0在左侧近旁f(x0)0，那么f(x0)是极小值. 求函数的极值的步骤：求函数的定义域求导数f(x)求导数f(x)=0的根.检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号，如果左正、右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.4、函数的最大值与最小值闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值).求闭区间a,b上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.如果函数f(x)在开区间(a,b)或(,+)内可导且有惟一的极值点x0，那么当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.对于实际问题，如果连续函数f(x)在区间（a,b）内只有一个点使f(x)=0，而且实际问题本身又可以知道f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值，则f(x0)就是所求的最大值或最小值，这时也就无须判断是极大值还是极小值.