2022年高三上学期统考二 数学试卷（文科）

2022年高三上学期统考二 数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，则集合A的真子集的个数是A. 3个B. 6个C. 7个D. 8个 2. 已知向量，向量，且，则实数等于A. 4B. 4C. 0D. 9 3. 下列函数中，在上为减函数的是A. B. C. D. 4. 已知，则p是q成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数若是奇函数，则的值是A. B. 4C. D. 4 6. 函数的图象的大致形状是 7. 已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的自然数有A. 最大值15B. 最小值15C. 最大值16D. 最小值16 8. 定义运算：，将函数（）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是A. B. 1C. D. 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 函数的定义域为_。 10. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A_。 11. 函数的值域是_。 12. 已知数列的前项和，其中，那么_；通项公式_。 13. 当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为2，则实数的值是_。 14. 下列命题中：若函数的定义域为R，则一定是偶函数；若是定义域为R的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；已知是函数定义域内的两个值，且，若，则是减函数；若是定义在R上的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数。其中正确的命题序号是_。三、解答题：本大题共6小题，共80分 15. （本小题满分13分）已知集合，集合（I）若，求；（II）若AB，求实数的取值范围。 16. （本小题满分13分）已知函数。（I）求的值和函数的最小正周期；（II）求的单调递减区间及最大值，并指出相应的的取值集合。 17. （本小题满分13分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白宽度为，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 18. （本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，已知。（I）求通项；（II）记数列的前项和为，数列的前项和为，求证：。 19. （本小题满分14分）设函数。（I）求函数的单调区间、极大值和极小值。（II）若时，恒有，求实数的取值范围。 20. （本小题满分14分）已知数列中，2，3，（I）求证数列是等差数列；（II）试比较的大小；（III）求正整数，使得对于任意的正整数恒成立。【试题答案】一、选择题：CDBAADDB二、填空题： 9. 10. 30或 11. 12. 9；13. 314. 1.2.4三、解答题：本大题共6小题，共80分。 15. （）当时，解得。则。（2分）由得则（4分）所以（5分）（）由，（6分）当时，适合AB。（8分）当时，得，若AB，（10分）当时，得，若AB，（12分）所以实数的取值范围是。（13分） 16. 解：（I），（4分）。（6分）函数的最小正周期。（7分）（II）由（I）知，函数的最大值为2。（8分）相应的的集合为（10分），（11分）的单调递减区间为，。（13分） 17. 解法1：设矩形栏目的高为，宽为，则广告的高为，宽为，其中。（3分）广告的面积（5分）（6分）。（9分）当且仅当时等号成立。（10分）此时，代入式得，从而。（12分）即当，时，S取得最小值24500。故广告的高为，宽为170cm时，可使广告的面积最小。（13分）解法2：设广告的高和宽分别为，则每栏的高和宽分别为，其中。两栏面积之和为，由此得，广告的面积，整理得。因为，所以。当且仅当时等号成立。此时有，解得，代入得。即当时，S取得最小值24500，故当广告的高为，宽为时，可使广告的面积最小。 18. 解：（1），（2分）解得，（4分）；（6分）（2），（8分）。，（10分）（13分） 19. 解：（），（1分）令，得或。（2分）则当变化时，与的变化情况如下表：（）（，）00递增递减递增可知：当时，函数为增函数，当时，函数也为增函数。（5分）当时，函数为减函数。（6分）当时，的极大值为；（7分）当时，的极小值为。（8分）（II）因为的对称轴为，且其图象的开口向上，所以在区间上是增函数。（10分）则在区间上恒有等价于的最小值大于成立。所以。（12分）解得，又，则的取值范围是。（13分） 20. 解：（1），又，即数列是以0为首项，1为公差的等差数列。（3分）且（）（4分）（5分），（8分）（），又（9分）当时，当时，又，由得，即对于任意的正整数恒成立，故所求的正整数。（14分）