2022年高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版

2022年高三数学一轮复习讲义 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版自主梳理1. 正弦定理：_2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)abc_ sin Asin Bsin C _；(2)a_)2Rsin A _，b_2Rsin B _，c_2Rsin C _；(3)sin A_，sin B_，sin C_等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理：a2_ b2c22bccos A _，b2_a2c22accos B_，c2_ a2b22abcos C_.余弦定理可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_.3.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.解三角形时，三角形解的个数的判断在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解5判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一等腰三角形：ab或AB.直角三角形： b2c2a2 或 A90 .钝角三角形： a2b2c2 或 A90 .锐角三角形：若a为最大边，且满足 a2b2c2 或A为最大角，且 A90 .6由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即ABabsinAsinB.基础自测1.在ABC中，若A60，a，则_.2.(xx北京)在ABC中，若b1，c，C，则a_.3.在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_.4.ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c3，C，a2b，则b的值为_.5.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为 ()A.2 B.8 C. D.1.22.13.4.5.C6在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为，则b .【解析】SABCacsinBacsin30，ac6.又a、b、c成等差数列，故2bac.由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accos30，b24b2126，得b242，b1.7在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【解析】由a2bcosC得sinA2sinBcosCABC sinAsin(BC)sin(BC)2sinBcosC 即sin(BC)00B，0Cb，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.(2)B60，C75，A45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.(2)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2bsinA.求角B的大小； 求cosAsinC的取值范围解析 由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB，由ABC为锐角三角形得B.cosAsinCcosAsin(A)cosAsin(A)cosAcosAsinAsin(A)由ABC为锐角三角形知，AB，又B.A，sin(A).由此有sin(A)，所以cosAsinC的取值范围为(，)点评 解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成边，要么把边化成角，然后再进行三角恒等变换得到yAsin(x)B型函数，从而求解单调区间、最值、参数范围等问题，注意限制条件ABC，0A，B，C的应用，如本题中由ABC为锐角三角形得到AB，从而推到A.探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意. 变式训练1 (1) 已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，AC2B，则角A的大小为_. (2)在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_；（3）在ABC中，若a50，b25，A45，则B_解析(2)在ABC中，tan A，C150，A为锐角，sin A.又BC1.根据正弦定理得AB.(3)由ba，得BA，由，得sin B，0B180 B60或B120.（4）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinAacosC.求角C的大小；求sinAcos(B)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小解析 由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因为0A，所以sinA0，从而sinCcosC，又cosC0，所以tanC1，则C.由(1)知BA.于是sinAcos(B)sinAcos(A)sinAcosA2sin(A)0A，A，从而当A，即A时，2sin(A)取最大值2.综上所述，sinAcos(B)的最大值为2，此时A，B.（5）如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的重心G.设MGA()试将AGM、AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为的函数；求y的最大值与最小值解析因为G是边长为1的正三角形ABC的重心，所以AG，MAG，由正弦定理，得GM.则S1GMGAsin(或)又，得GN，则S2GNGAsin()(或)，ysin2()sin2()72(3cot2)因为，所以，当或时，y取得最大值ymax240；当时，y取得最小值ymin216.题型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积.解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得： ，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2 1已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值解(1)a2c2b2ac，cos B.0B，B.(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0Aa，BA，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，3. (1)求ABC的面积； (2)若bc6，求a的值.解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A52. (2)由(1)知，bc5，又bc6，根据余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020，a2.在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范围；(2)求函数f()2sin2()2cos2的值【解析】(1)8，BAC，bccos8.又a4，b2c22bccos42即b2c232. 又b2c22bcbc16，即bc的最大值为16.而bc，16，cos0，0.(2)f()2sin2()2cos21cos(2)1cos2sin2cos212sin(2)10， 2 sin(2)1.当2，即时，f()min212.当2，即时，f()max2113.点评 有关三角形中的三角函数求值问题，既要注意内角的范围，又要灵活利用基本不等式题型三正、余弦定理的综合应用例3(xx浙江)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围.解(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因为0cos B0，所以p.探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角.通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角.变式训练 1.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c. (1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状.解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面积为，absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0A0，故cos B，所以B45.题型四判断三角形的形状一、判断三角形的形状例1在ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解析 (1)由已知得：2a2(2bc)b(2cb)c.即a2b2c2bc由余弦定理得：a2b2c22bccosA cosAA(0，180)，A120.(2)由(1)得：sin2Asin2Bsin2CsinBsinC又sinBsinC1得sinBsinC0B60，0C60. BC.ABC是等腰的钝角三角形点评有关三角形形状的判定，途径一：探究内角的大小或取值范围确定形式；途径二：计算边的大小或转化为仅关于边的关系式确定形式例4在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sinAsin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC为等腰或直角三角形.变式训练4 1.已知在ABC中，则ABC的形状是 解析：cos2，.cos A. 又，即b2c2a22b2. a2b2c2.ABC为直角三角形探究提高利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断.2. 设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值解(1)3b23c23a24bc，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos A，又0A0) 则a2k，b3k，c4k.由余弦定理得cosB，选D.5.若ABC的内角A、B、C所对的边a，b，c满足(ab)2c24且C60，则ab的值为( )A. B84 C1 D.【解析】由已知得：两式相减得：ab，选A.二、填空题6.在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.7.若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_2_.8.在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_.4或5.9已知ABC的一个内角为120，且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 .【解析】不妨设A120，c0，从而有sin A，A60或120，A是锐角，A60.(2)10bcsin 60，bc40，又72b2c22bccos 60，b2c289.11在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sin B4cos Asin C，求b.解方法一sin B4cos Asin C，由正弦定理，得4cos A，b4ccos A，由余弦定理得b4c，b22(b2c2a2)，b22(b22b)，b4.方法二由余弦定理，得a2c2b22bccos A，a2c22b，b0，b2ccos A2，由正弦定理，得，又由已知得，4cos A，b4ccos A. 解得b4. 12在ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos2A，sinB. (1)求AB的值；(2)若ab1，求a，b，c的值【解析】(1)A，B为锐角，且sinB cosB又cos2A12sin2AsinA，cosAcos(AB)cosAcosBsinAsinB又0ABbB.a90，B2A9030A45，cosA由AC2cosA得AC的取值范围是(，)三、解答题8.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状.解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0A180，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(sin Bsin C)2sin Bsin C，又sin Bsin C1， sin Bsin C.解联立的方程组，得sin Bsin C.因为0B60，0C60，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形.9.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b、c的值.解(1)BCA，即，由4sin2cos 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20.cos A，又0A0sinA2sinAcosB，cosB又B(0，)，B.(2)由余弦定理得，b2a2c22accosBa2c2acac当且仅当ac时“”成立又b2，ac12. SABCacsinB123，当且仅当ac2时，SABC的最大值为3.