2022年高一数学 3.2等差数列（第一课时） 大纲人教版必修

2022年高一数学 3.2等差数列（第一课时） 大纲人教版必修课时安排2课时从容说课等差数列是一种特殊的数列，其基本特征为：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。关键是“等差”的特点的理解。本节首先是由具体的例子引出等差数列的概念，然后由等差数列的定义，通过不完全归纳法得出了等差数列的通项公式。这种推导过程可以培养观察分析、归纳猜想的能力。本节的重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式，通过对本节的学习，要深刻理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及其应用。第一课时课 题3.2.1 等差数列(一)教学目标（一）教学知识点1.等差数列的定义.2.等差数列的通项公式.（二）能力训练要求1.明确等差数列的定义2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题（三）德育渗透目标1.培养学生观察能力.2.进一步提高学生推理、归纳能力.3.培养学生的应用意识.教学重点1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.教学方法启发式教学启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.教具准备幻灯片一张记作3.2.11，2，3，4，5，6； 10，8，6，4，2，；21，21，22，22，23，23，24，24，252，2，2，2，2，教学过程.复习回顾师上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子：（打出幻灯片3.2.1).讲授新课师首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）师大家是否已考虑成熟？生甲数列是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an=n(1n6).生乙数列是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an=122n(n1).生丙数列是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an=20n（1n9)生丁数列的通项公式为：an=2(n1)，是一常数数列.师综合上述学生所说，它们的共同特点是什么呢？生它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.师也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，2，0.2.等差数列的通项公式师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：(n1)个等式若将这n1个等式左右两边分别相加，则可得：ana1=(n1)d，即an=a1+(n1)d当n=1时，等式两边均为a1,即上述等式均成立，则对于一切nN*时上述公式都成立，所以它可作为数列an的通项公式.或者由定义可得：a2a1=d即：a2=a1+d；a3a2=d，即a3=a2+d=a1+2d；a4a3=d，即a4=a3+d=a1+3d；anan1=d,即an=an1+d=a1+(n1)d师看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.如数列:an=1+(n1)1=n(1n6),数列：an=10+(n1)(2)=122n(n1),数列：an=22+(n1)=21 (n1),数列：an=2+(n1)0=2(n1)由通项公式可类推得：am=a1+(m1)d，即a1=am(m1)d，则：an=a1+(n1)d=am(m1)d+(n1)d=am+(nm)d.如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d3.例题讲解例1(1)求等差数列8，5，2的第20项.分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.解：由题意可知：a1=8,d=58=25=3该数列通项公式为：an=8+(n1)(3),即an=113n(n1),当n=20时，则a20=11320=49.答案：这个数列的第20项为49.(2)401是不是等差数列5，9，13的项?如果是，是第几项?分析：要想判断401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=401.解：由题意可知：a1=5,d=9(5)=4,数列通项公式为：an=54(n1)=4n1.令401=4n1,解之得n=100.401是这个数列的第100项.例2在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解：由题意可知，这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1=2,d=3.即这个等差数列的首项是2，公差是3.例3在等差数列an中，已知a5=10,a15=25,求a25.思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.解法一：设数列an的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1=4,d=.这个数列的通项公式为：an=4+(n1),即an=.a25=25+=40.思路二：若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+(nm)d.这样可简化运算.解法二：由题意可知：a15=a5+10d,即25=10+10d,10d=15.又a25=a15+10d,a25=25+15=40.思路三：若注意到在等差数列an中，a5,a15,a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.解法三：在等差数列an中，a5,a15,a25成等差数列，2a15=a5+a25,即a25=2a15a5,a25=22510=40.课堂练习生(书面练习)课本P115练习1师(提问并结合学生所答进行讲评)1.（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a1=3,d=73=4.该数列的通项公式为：an=3+(n1)4,即an=4n1(n1,nN*)a4=441=15,a10=4101=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=810=2.该数列的通项公式为：an=10+(n1)(2),即an=2n+12,a20=220+12=28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=92=7.此数列通项公式为：an=2+(n1)7=7n5.令7n5=100,解得：n=15,100是这个数列的第15项.（4）20是不是等差数列0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：由题意可知：a1=0,d=3此数列的通项公式为：an=,令=20,解得n=因为=20没有正整数解，所以20不是这个数列的项.生（板演练习）课本P117练习22.在等差数列an中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d;(2)已知a3=9,a9=3,求a12.解：（1）由题意得：解之得：.(2)解法一：由题意可得： 解之得该数列的通项公式为：an=11+(n1)(1)=12n,a12=0解法二：由已知得：a9=a3+6d,即3=9+6d,d=1又a12=a9+3d,a12=3+3(1)=0.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：anan1=d(n2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+(n1)d(n1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an=am+(nm)d的理解与应用.课后作业（一）课本P116习题3.2 1，2（二）1.预习内容：课本P114例2P115例42.预习提纲：（1）如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题?（2）等差数列有哪些性质?板书设计3.2.1 等差数列(一)一、定义 anan1=d(n2)二、通项公式 an=a1+(n1)d=am+(nm)d公式推导过程例1例2例3