2022年高考数学大一轮复习 第四章 平面向量第四章平面向量

2022年高考数学大一轮复习 第四章 平面向量第四章平面向量考情展望1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则 ba法则(1)交换律：aba(bc)(2)结合律：(ab)c平行四边形减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”三、平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.巧用系数判共线(，R)，若A，B，C三点共线，则1；反之，也成立1化简的结果为()A.B.C.D.【答案】D2下列给出的命题正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量有且仅有一个Ca与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D相等的向量必是共线向量【答案】D3设a，b为不共线向量，a2b，4ab，5a3b，则下列关系式中正确的是()A. B.2C. D.2【答案】B4(xx福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A.B2C3D4【答案】D5设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()AabBabCa2bDab且|a|b|【答案】C6(xx四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则 .【答案】2考向一 071平面向量的有关概念给出下列四个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则四边形ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1B2C3D4【答案】D规律方法11.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法2准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键：(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性；(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度对点训练给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中假命题的个数为()A1B2C3D4【答案】C考向二 072平面向量的线性运算(1)在ABC中，若D是AB边上一点，且2，则()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A. B.2C.3D2【答案】(1)A(2)A规律方法21.解答本例(1)的关键是利用向量的加法与减法把用、表示出来解答本例(2)的关键是2.2进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解对点训练(1)(xx课标全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A.B.C.D.(2)(xx南京质检)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为 【答案】(1)C(2)2考向三 073共线向量定理的应用设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A、C、F三点共线，求k的值【尝试解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，与共线，又与有公共点C，A、C、D三点共线(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A、C、F三点共线，从而存在实数，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k2.所以实数k的值为2.规律方法31.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线对点训练(1)已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向(2)对于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】(1)D(2)A易错易误之八忽视零向量的特殊性致误1个示范例下列命题正确的是()A向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a、b不共线，则向量ab与向量ab必不共线【解析】A不正确，当ab0时，有无数个实数满足ba.此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件a0”而致误B不正确，在ABC中，0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0是向量，其模为0，而0是数量，没有方向C不正确，当b0时，不等式|a|a|a|显然成立此处在求解时，常受代数不等式|a|b|ab|a|b|的影响，而忽略了向量中0的作用导致错误D正确向量a与b不共线，a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab平行，则存在实数，使ab(ab)，即(1)a(1)b，无解，故假设不成立，即ab与ab不平行，故选D.【防范措施】(1)共线向量定理中，ba要求a0，否则值可能不存在(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数(3)应熟练掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等号成立的条件1个防错练下列说法不正确的有 若ab，则a与b的方向相同或相反；若a0，则0；相反向量必不相等；若ae1e2，b2e1，R，且0，则ab 的充要条件是e20.【解析】不正确，如a0.不正确，a0，则0或a0.不正确，00.不正确，当e1e2时该命题也成立【答案】课时限时检测(二十五)平面向量的基本概念及线性运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1若ac与b都是非零向量，则“abc0”是“b(ac)”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A2已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()AabBabC|a|b|Dabab【答案】B3如图411，正六边形ABCDEF中，() 图411A0B.C.D.【答案】D4设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0成立的是()AabBabCa2bDab【答案】A5设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|【答案】C6已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2B3C4D5【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7如图412所示，向量ab (用e1，e2表示)图412【答案】e13e28若|8，|5，则|的取值范围是 【答案】3,139已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是 (将正确的序号填在横线上)2a3b4e，且a2b3e；存在相异实数、，使ab0；xayb0(实数x，y满足xy0)【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值(3)若ab，2a3b，2akb，且A、C、D三点共线，求k的值【解】(1)证明a2b，a2b.所以，又因为A为公共点，所以A、B、C三点共线(2)设8akb(ka2b)，则或所以实数k的值为4.(3)(ab)(2a3b)3a2b，因为A、C、D三点共线，所以与共线从而存在实数使，即3a2b(2akb)，得解得，k，所以k.11(12分)如图413所示，在ABC中，P是BN上的一点，若m，求实数m的值图413【解】如题图所示，P为BN上一点，则k，kk()又，即，因此(1k)，所以1km，且，解得k，则m1k.12(13分)设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足()，0，)求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：ABC的外心；ABC的内心；ABC的重心；ABC的垂心【解】如图，记，则，都是单位向量，|，则四边形AMQN是菱形，AQ平分BAC，由条件知，(0，)，点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过ABC的内心第二节平面向量基本定理及坐标表示考情展望1.考查用平面向量的坐标运算进行向量的线性运算.2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示1平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(3)若a(x，y)，R，则a(x，y)2向量平行的坐标表示(1)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件为x1y2x2y10.(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0.共线向量的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.1下列各组向量：e1(1,2)，e2(5,7)；e1(3,5)，e2(6,10)；e1(2，3)，e2(，)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()ABCD【答案】A2若a(3,2)，b(0，1)，则2ba的坐标是()A(3，4)B(3,4)C(3,4)D(3，4)【答案】D3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10 C. D15【答案】B4(xx福建高考)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)【答案】B5(xx广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使ab c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使ab c；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使ab c.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1B2C3D4【答案】B6(xx北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图421所示，若cab(，R)，则 .图421【答案】4考向一 074平面向量基本定理及其应用(1)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则 .图422(2)如图422，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则 (用向量a和b表示)【答案】(1)(2)ab规律方法11.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组2(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用对点训练(xx江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为 【答案】考向二 075平面向量的坐标运算已知O(0,0)，A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标【尝试解答】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1,8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3,24)(1563，15324)(6，42)(2)由ambnc，得(5，5)(6m，3m)(n,8n)(6mn，3m8n)解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)规律方法21.向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来对点训练(1)(xx广东高考)已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)(2)(xx北京高考)已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)【答案】(1)B(2)A考向三 076平面向量共线的坐标表示(1)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为 (2)向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos 2()AB.CD.【答案】(1)(4，2)(2)D规律方法31.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解对点训练(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.B.C1D2(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是 【答案】(1)B(2)m思想方法之十二待定系数法在向量运算中的应用根据向量之间的关系，利用待定系数法列出一个含有待定系数的恒等式，然后根据恒等式的性质求出各待定系数的值或消去这些待定系数，找出原来那些系数之间的关系，从而使问题得到解决1个示范例如图423所示，在OAB中，图423，AD与BC交于点M，设a，b，利用a和b表示向量.【解】设manb，则manba(m1)anb.ba.因为A、M、D三点共线，所以存在实数，使，即(m1)anbab.所以消去，得m2n1，同理manbaanb，ba，因为C、M、B三点共线，所以存在实数t，使t，即anbt.所以消去t，得4mn1，联立，得m，n，所以ab.,1个对点练如图424所示，M是ABC内一点，且满足条件230，延长CM交AB于N，令a，试用a表示.图424【解】因为，所以由230，得()2()30，所以3230.又因为A，N，B三点共线，C，M，N三点共线，由平面向量基本定理，设，所以3230.所以(2)(33)0.由于和不共线，由平面向量基本定理，得所以所以，22a.课时限时检测(二十六)平面向量基本定理及坐标表示(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)【答案】A2(xx陕西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()A B.C或D0【答案】C3已知向量m(2,0)，n.在ABC中，2m2n，2m6n，D是BC边的中点，则|等于()A2 B4 C6 D8【答案】A4在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围()A(0,1) B. C(1,0) D.【答案】C5设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A(1，1) B(1,1) C(4,6) D(4，6)【答案】D6ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A. B. C. D.【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为 【答案】8在ABC中，若点D是边AB上靠近点B的三等分点，若a，b，则等于 【答案】ab9已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为 【答案】1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)设坐标平面上有三点A，B，C，i，j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量i2j，imj，那么是否存在实数m，使A，B，C三点共线【解】法一假设满足条件的m存在，由A，B，C三点共线，得，存在实数，使，即i2j(imj)，m2.当m2时，A，B，C三点共线法二假设满足条件的m存在，根据题意可知i(1,0)，j(0,1)(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)，由A，B，C三点共线，得，故1m1(2)0，解得m2.当m2时，A，B，C三点共线11(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且t(tR)，问：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由【解】(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，(1,2)，(3,3)，t(13t,23t)若P在x轴上，只需23t0，t；若P在第二、四象限角平分线上，则13t(23t)，t.(2)(1,2)，(33t,33t)，若OABP是平行四边形，则，即此方程组无解所以四边形OABP不可能为平行四边形12(13分)如图425，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线图425(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值【解】(1)()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().而，不共线，由，得解得3(定值)第三节平面向量的数量积考情展望1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想一、平面向量的数量积1数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则向量a与b的数量积是数量|a|b|cos ，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.2向量的投影：设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cos ；向量b在a方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积二、平面向量数量积的运算律1交换律：abba；2数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；3分配律：a(bc)abac.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|1已知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，则(bc)a等于()A(26，78)B(28，42)C52D78【答案】A2已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B.C. D.【答案】C3已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)abD|ab|a|b|【答案】B4已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|()A0B2C4D8【答案】B5(xx湖北高考)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.CD【答案】A6(xx课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t .【答案】2考向一 077平面向量数量积的运算(1)(xx浙江高考)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则 .(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ；的最大值为 【答案】(1)16(2)11规律方法11.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算2要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例(1)中用、表示、等注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形对点训练(1)(xx江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影为 (2)在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则 .【答案】(1)(2)考向二 078平面向量的夹角与垂直(1)(xx安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为 (2)(xx山东高考)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为 【答案】(1)(2)规律方法21.当a，b以非坐标形式给出时，求a，b的关键是借助已知条件求出|a|、|b|与ab的关系2(1)非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.(2)本例(2)中常见的错误是不会借助向量减法法则把表示成，导致求解受阻对点训练(1)(xx重庆高考)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()AB0C3D.(2)(xx青岛质检)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值是 【答案】(1)C(2)考向三 079平面向量的模及其应用(1)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|()A.B.C2D10【答案】B(2)已知(cos ，sin )，(1sin ，1cos )，其中0，求|的取值范围及|取得最大值时的值【尝试解答】(1sin cos ，1cos sin )，|P|2(1sin cos )2(1cos sin )244sin cos 42sin 2.0，1sin 21，|22,6，|，当sin 21，即时，|取得最大值规律方法31.x1y2x2y10与x1x2y1y20不同，前者是a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)共线的充要条件，而后者是它们垂直的充要条件2求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑：(1)利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2)利用公式|a|及(ab)2|a|22ab|b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解决对点训练(1)(xx江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a| .(2)(xx四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2B1C1D2【答案】(1)3(2)D易错易误之九忽略向量共线条件致误1个示范例(xx广州模拟)已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为 【解析】a与ab均为非零向量，且夹角为锐角，a(ab)0，即(1,2)(1，2)0，(1)2(2)0，当a与 ab共线时，存在实数m，使abma，此处在求解时，常因忽略“a与ab共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为ab0与a，b为锐角等价即(1，2)m(1,2)，0，即当0时，a与ab共线综上可知，的取值范围为【防范措施】1.a，b的夹角为锐角并不等价于ab0，ab0等价于a与b夹角为锐角或0.2依据两向量的夹角求向量坐标中的参数时，要注意0或180的情形其中cos 010，cos 18010.1个防错练已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 【解析】由ab0，即230，解得.又当ab时，6，故所求的范围为且6.【答案】课时限时检测(二十七)平面向量的数量积(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1(xx辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A.B.C. D.【答案】A2(xx大纲全国卷)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4B3C2D1【答案】B3若向量a, b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4B3C2D0【答案】D4已知|a|1，|b|2，a，b60，则|2ab|()A2 B4 C2 D8【答案】A5已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若，则()A. B.C. D.【答案】A6已知平面向量|a|2，|b|1，且(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7已知向量a(1,0)，b(1,1)，则向量b3a与向量a夹角的余弦值为 【答案】8已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则ab在a方向上的投影为 【答案】29设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且2ij，4i3j，则OAB的面积等于 【答案】5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已知a(1,2)，b(x,1)，(1)若(2ab)(ab)，求x的值；(2)若2ab与ab的夹角是锐角，求x的取值范围【解】(1)a(1,2)，b(x,1)，2ab(2x,5)，ab(1x,1)由(2ab)(ab)可知2x55x.解得x.(2)由题意可知(2ab)(ab)0且2ab与ab不共线，x且x.即所求x的取值范围是.11(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图图431(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由【解】(1)由题意可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)cosOCMcos，.(2)设P(t，)，其中1t5，(t，)，(6t，)，(2，)，若()，则()0，即122t30(2t3)12，若t，则不存在，若t，则，t，故(，12).12(13分)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )(1)若|，求的值；(2)若(2)1，其中O为坐标原点，求sin cos 的值【解】A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )，(2sin 1，cos )，(2sin ，cos 1)(1)|，化简得2sin cos ，所以tan ，5.(2)(1,0)，(0,1)，(2sin ，cos )，2(1,2)，(2)1，2sin 2cos 1.(sin cos )2，12sin cos ，sin cos .第四节平面向量应用举例考情展望1.用向量的方法解决某些简单的平面几何证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向量运算的工具性一、向量在平面几何中的应用1平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题2用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线、相似等问题共线向量定理ababx1y2x2y10(b0)其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)二、向量在物理中的应用1向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用2向量在速度的分解与合成中的应用3向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wfs.1已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1(2,2)，f2(2,3)，则|f3|为()A2.5B4C2D5【答案】D2已知O是ABC所在平面上一点，若，则O是ABC的()A内心 B重心 C外心 D垂心【答案】D3若20，则ABC为()A钝角三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D直角三角形【答案】D4已知两个力F1、F2的夹角为90，它们的合力F的大小为10 N，合力与F1的夹角为60，那么F1的大小为 【答案】5 N5在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B. C2 D.【答案】A6(xx山东高考)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为 【答案】考向一 080向量在平面几何中的应用(1)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形(2)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角形面积C以a，b为两边的三角形面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积(3)已知ABC的三边长AC3，BC4，AB5，P为AB边上任意一点，则()的最大值为 【答案】(1)A(2)D(3)9规律方法11.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状；二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值2平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解对点训练(1)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)(2)(xx课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 .【答案】(1)C(2)2考向二 081平面向量在解析几何中的应用(xx苏州模拟)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最大值【尝试解答】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1.(2)因()()()()()2221，P是椭圆1上的任一点，设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因为y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19.规律方法21.平面向量与解析几何交汇的题目，向量多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题2向量工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法对点训练(xx安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|b|1，ab0，点Q满足(ab)曲线CP|acos bsin ，02，区域P|0r|R，rR若C为两段分离的曲线，则()A1rR3B1r3RCr1R3 D1r3R【答案】A考向三 082向量在三角函数中的应用(xx辽宁高考)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【尝试解答】(1)由|a|2(sin x)2sin2 x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.规律方法3平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解对点训练已知O为坐标原点，向量(sin ，1)，(cos ，0)，(sin ，2)，点P满足.(1)记函数f()，求函数f()的最小正周期；(2)若O、P、C三点共线，求|的值【解】(1)(cos sin ，1)，设(x，y)，则(xcos ，y)，由得x2cos sin ，y1，故(2cos sin ，1)(sin cos ，1)，(2sin ，1)，f()(sin cos ，1)(2sin ，1)2sin22sin cos 1(sin 2cos 2)sin，f()的最小正周期T.(2)由O、P、C三点共线可得(1)(sin )2(2cos sin )，得tan ，sin 2，|.规范解答之七平面向量与三角函数的交汇问题求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步骤：第一步：将向量间的关系式化成三角函数式；第二步：化简三角函数式；第三步：求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；第四步：明确表述结论1个示范例(12分)(xx江苏高考)已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值【规范解答】(1)证明由题意得|ab|22，2分即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.5分(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以7分由此得，cos cos()，由0，得0.9分又0，故.代入sin sin 1，得sin sin ，11分而，所以，.12分【名师寄语】(1)熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的运算是求解此类问题的前提(2)解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式在此基础上运用三角函数的知识求解1个规